Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дискретка!!!!!!! / 3 - Отношения

.pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
25.02.2016
Размер:
301.75 Кб
Скачать

3. Отношения

Основные понятия и определения

Бинарное отношение, заданное на (во) множестве A, – это некоторый признак связывающий пары элементов из A. В этом случае используется запись: xRy, это читается: «элемент x находится в отношении R с y».

Кроме того, поскольку бинарное отношение R описывает некоторые внутренние связи между элементами множества A, то связанные этим отношением элементы можно

представлять как упорядоченные пары (x, y), где

x, y A, и множество таких

упорядоченных пар будет представлять собой некоторое подмножество R декартова квадрата A2. В этом случае (если понимать бинарное отношение как подмножество

декартова квадрата) связь элемента

x A

отношением R с

y A

будем записывать, как

x, y R .

 

 

 

 

 

Примеры.

1)

Отношение равенства действительных чисел определяется на множестве

A ; следующим образом:

 

x, y ; : xRy x y .

2)

Отношение строгого (R1) и нестрогого (R2) неравенства действительных чисел

задается на множестве A ; следующим образом:

 

x, y ; : xRy x y ;

 

x, y ; : xRy x y .

3) Отношение неравенства кортежей с действительными координатами (неравенство

Парето) определяется на множестве

A R

n

 

 

n

следующим образом:

 

;

x, y ; n

: xRy i

 

xi

yi .

1, n

Здесь R – неравенство кортежей, x = (x1, …, xn) и y = (y1, …, yn) – кортежи длины n с действительными координатами, т.е. xi, yi, i 1, n , – действительные числа.

 

Это отношение часто обозначают символом или ≤ (но второй не следует путать с

неравенством действительных чисел).

 

 

 

 

 

 

 

4)

Лексикографическое неравенство кортежей, имеющее стандартное обозначение

или < (второе не следует путать со строгим неравенством действительных чисел):

 

x, y ;

n

: xRy k 1, n x

 

y

 

& i 1, k 1 x

 

y

.

 

 

k

k

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

5)

Отношение неравенства функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

f , g C

a,b

: fRg x a, b f x g x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь A = C[a, b] – множество действительных функций, непрерывных на отрезке [a, b].

6)

Отношение равенства по модулю 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть A = Z – множество целых чисел. Бинарное отношение R равенства по модулю

5 определим следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

m, n Z : mRn r5 m r5 n ,

где r5(n) – остаток от деления числа n на 5, т.е. фактически R – признак (отношение) равенства остатков при делении на 5. Это отношение записывается m n (mod 5) или

mod 5

m n .

1

Очевидно, что r5(m) = r5(n) тогда и только тогда, когда число m n делится на 5 без

остатка, т.е.

k Z : m n 5k , что означает, что равны по модулю 5 все числа, разность

между которыми кратна пяти. Это, к примеру, числа 1 ≡ 6 ≡ 11 (mod 5), 3 ≡ 8 ≡ 13 (mod 5). Подобным образом можно определить отношения равенства по произвольному

модулю p N . При p = 1 получаем обычное отношение равенства

чисел.

При p 1

данное отношение определяется следующим образом:

 

 

m, n Z : m n mod p k Z m n pk .

 

Свойства бинарных отношений

 

 

1°.Рефлексивность:

a A: aRa ;

A

R

 

a, a R.

 

 

 

 

Это означает, что диагональ декартова квадрата A2 содержится

во

A

множестве R (см. рис. 7).

 

Рис. 7

 

 

2°.Антирефлексивность:

a A: aRa ;

 

 

 

a, a R.

A

R

 

 

 

Это означает, что ни одна точка диагонали декартова квадрата A2 не

A

принадлежит множеству R (см. рис. 8).

 

 

Рис. 8

 

a,b A : aRb bRa ;

 

3°.Симметричность:

 

 

 

 

a,b R b, a R ,

т.е. множество R симметрично относительно диагонали декартова

квадрата A2 (см. рис. 9).

 

 

4°.Антисимметричность:

a,b A :

aRb & bRa a b;

 

 

a,b R & b, a R a b,

т.е. во множестве R нет ни одной пары симметричных точек вне диагонали декартова квадрата A2 (см. рис. 10).

5°.Транзитивность:

a,b, c A : aRb & bRc aRc ;

 

a,b R & b, a R a, c R ,

т.е. движение, показанное на рис. 11 стрелками, не выводит за пределы множества R.

6°.Антитранзитивность:

a,b, c A : aRb & bRc aRc ;

 

a,b R & b, a R a, c R.

7°.Полнота (связность):

a,b A : a b aRb bRa ;

A R

A

Рис. 9

A R

A

Рис. 10

c A

b

b A a

Рис. 11

a b a,b R b, a R , т.е. любая точка вне диагонали либо сама принадлежит множеству R, A либо симметричная ей точка является элементом R. Пример полного отношения приведён на рис. 12.

Если на множестве A задано бинарное отношение R и

рассматривается некоторое B A , то отношение

RB a, b : a, b B & aRb R B2

называется сужением отношения R на подмножество B.

Сужение может обладать иными свойствами, нежели само отношение, которого оно задано.

R

A

Рис. 12

на основе

2

Пример 1.

Рассмотрим строгое неравенство действительных чисел (1) и проверим для него наличие описанных свойств.

1°.Рефлексивность: x ; : x x .

Полученное утверждение является ложным, значит, рассматриваемое отношение не является рефлексивным.

2°.Антирефлексивность: x ; : x x .

Высказывание в скобках является ложным для любого x, поэтому всё утверждение оказывается истинным, т.е. отношение строгого неравенства действительных чисел

является антирефлексивным.

(+)

3°.Симметричность: x, y ; : x y y x .

 

При выполнении (И) первого неравенства второе всегда будет нарушаться (Л), и логическое следствие обратит всё утверждение в ложь ( И Л Л ). Таким образом, свойством симметричности рассматриваемое отношение не обладает.

4°.Антисимметричность: x, y ; : x y & y x x y .

Известно, что результат логического следствия может оказаться ложью только в случае, когда посылка является истинной, а следствие ложным. Однако для записанного предиката невозможно подобрать таких значений x и y, для которых одновременно выполнятся оба неравенства (и результатом конъюнкции будет истина), поэтому посылка всегда будет ложной, а значит, независимо от истинности (ложности) следствия, всё утверждение будет истинным ( Л Л И , Л И И ). А это означает антисимметричность бинарного отношения строгого неравенства

действительных чисел.

(+)

5°.Транзитивность: x, y, z ; : x y & y z x z .

 

Истинность данного утверждения очевидна, и рассматриваемое отношение

транзитивно.

(+)

6°.Антитранзитивность: x, y, z ; : x y & y z x z

 

Ясно, что данное утверждение ложно, и свойством антитранзитивности

рассматриваемое бинарное отношение не обладает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

7°.Полнота (связность): x, y ; : x y x y y x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

Истинность данного высказывания также очевидна,

а значит,

 

 

0

x

бинарное отношение строгого неравенства действительных чисел

 

 

 

 

 

является полным.

(+)

 

 

 

 

 

Приведённый на рис. 13 график данного бинарного

отношения

 

Рис. 13

 

также хорошо иллюстрирует наличие указанных свойств.

 

 

 

 

 

Отношение эквивалентности

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пусть на множестве A задано отношение эквивалентности R. Тогда классом эквивалентности (смежности) элемента a A называется множество:

a | R b A : bRa ,

т.е. множество элементов, эквивалентных ему.

3

Два элемента множества будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу смежности.

Множество всех классов смежности множества A называется его фактор-

множеством и обозначается:

A | R a | R : a A .

Пример 2.

Заданное на множестве студентов факультета отношение принадлежности одной учебной группе, можно показать, является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности при этом являются отдельные учебные группы, а фактор множеством – множество учебных групп факультета. □ Фактор-множества множества A является его разбиением на непустые классы, т.е.

имеет место Теорема. Эквивалентность, заданная на множестве, определяет некоторое разбиение

этого множества на классы эквивалентности.

 

Обратная теорема. Любое разбиение Bi

: i I множества A на непустые классы

определяет некоторую эквивалентность R на множестве A.

 

Например, отношениями эквивалентности являются:

отношение параллельности прямых на плоскости;

 

отношения равенства целых чисел по модулю p ( p N );

отношение на множестве действительных чисел, задаваемое следующим образом:

 

a, b R : aRb a b Q ;

 

отношение тождества A a, a : a A

на любом множестве A, в частности,

отношение равенства действительных чисел;

 

отношение подобия геометрических фигур;

 

 

отношение равномощности множеств.

Отношение порядка

Бинарное отношение R называется отношением порядка, или просто порядком, если оно антисимметрично и транзитивно.

Рефлексивный порядок называется нестрогим, антирефлексивный – строгим. Обозначаются они символами ≤ (или ) и < (или ) соответственно.

Множество, на котором задано отношение порядка, называется упорядоченным. Различают строго и нестрого упорядоченные множества. То, что множество A является упорядоченным с порядком R, обозначается (A, R). На одном множестве может быть задано несколько различных порядков, т.е. множество может быть упорядочено различными образами.

Пусть дано множество A с заданным на нём отношением порядка R. Тогда, если два элемента a, b A связаны между собой отношением R, т.е. aRb bRa , или, то же самое,

a, b R b, a R , то они называются сравнимыми, в противном случае элементы a и b

называются несравнимыми.

Отношения порядка также называют иногда отношениями предшествования, и, если aRb, то считается, что элемент a предшествует b или a не превосходит b, или b следует за элементом a.

4

Порядок называется линейным, или совершенным, если он является полным. Если же он свойством полноты не обладает, то он называется частичным.

Множества с установленным на нём отношением частичного или линейного порядка, называется, соответственно, частично или линейно упорядоченным.

Таким образом, в линейно упорядоченном множестве любая пара элементов сравнима, в частично же упорядоченном множестве есть несравнимые элементы.

Примеры.

1) Из примера 1 видно, что бинарное отношение строгого неравенства действительных чисел является строгим линейным порядком. Таким образом, множество действительных чисел может быть строго линейно упорядочено с помощью данного бинарного отношения.

2)

Отношение включения множеств, определённое на

2

 

, где

 

– произвольное

 

множество, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

A, B 2

 

: ARB A B ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является частичным порядком.

 

 

 

 

 

 

 

3)

Отношение делимости натуральных чисел:

 

 

 

 

 

 

m, n N : mRn m делит n ,

 

 

 

 

 

является частичным порядком.

4)Отношение неравенства кортежей является частичным порядком, т.к. существуют несравнимые кортежи.

5)Отношение лексикографического неравенства кортежей является линейным порядком, поскольку обладает свойством полноты. Докажем это. Для этого предположим, что x y , тогда, очевидно,

i 1, n : x

i

 

y

i

.

 

 

 

 

Обозначим:

 

 

 

 

 

k min i : x

i

y

.

 

 

 

i

 

Это означает, что

x

k

y

& i 1, k 1: x

i

y

.

 

k

 

i

 

Кроме того, x означает, что

k x

yk означает, y , а второго

что или

– что

y

xk < yk, или yk < xk. Выполнение первого неравенства

x , что и требовалось доказать.

5

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.