Дискретка / 3 - Отношения
.pdf3. Отношения
Основные понятия и определения
Бинарное отношение, заданное на (во) множестве A, – это некоторый признак связывающий пары элементов из A. В этом случае используется запись: xRy, это читается: «элемент x находится в отношении R с y».
Кроме того, поскольку бинарное отношение R описывает некоторые внутренние связи между элементами множества A, то связанные этим отношением элементы можно
представлять как упорядоченные пары (x, y), где |
x, y A, и множество таких |
упорядоченных пар будет представлять собой некоторое подмножество R декартова квадрата A2. В этом случае (если понимать бинарное отношение как подмножество
декартова квадрата) связь элемента |
x A |
отношением R с |
y A |
будем записывать, как |
x, y R . |
|
|
|
|
|
Примеры. |
1) |
Отношение равенства действительных чисел определяется на множестве |
A ; следующим образом: |
|
|
x, y ; : xRy x y . |
2) |
Отношение строгого (R1) и нестрогого (R2) неравенства действительных чисел |
задается на множестве A ; следующим образом: |
|
|
x, y ; : xRy x y ; |
|
x, y ; : xRy x y . |
3) Отношение неравенства кортежей с действительными координатами (неравенство
Парето) определяется на множестве |
A R |
n |
|
|
n |
следующим образом: |
|
; |
|||||
x, y ; n |
: xRy i |
|
xi |
yi . |
||
1, n |
Здесь R – неравенство кортежей, x = (x1, …, xn) и y = (y1, …, yn) – кортежи длины n с действительными координатами, т.е. xi, yi, i 1, n , – действительные числа.
|
Это отношение часто обозначают символом или ≤ (но второй не следует путать с |
|||||||||||
неравенством действительных чисел). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
Лексикографическое неравенство кортежей, имеющее стандартное обозначение |
|||||||||||
или < (второе не следует путать со строгим неравенством действительных чисел): |
||||||||||||
|
x, y ; |
n |
: xRy k 1, n x |
|
y |
|
& i 1, k 1 x |
|
y |
. |
||
|
|
k |
k |
i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||
5) |
Отношение неравенства функций. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f , g C |
a,b |
: fRg x a, b f x g x . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь A = C[a, b] – множество действительных функций, непрерывных на отрезке [a, b]. |
||||||||||||
6) |
Отношение равенства по модулю 5. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть A = Z – множество целых чисел. Бинарное отношение R равенства по модулю |
|||||||||||
5 определим следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
m, n Z : mRn r5 m r5 n ,
где r5(n) – остаток от деления числа n на 5, т.е. фактически R – признак (отношение) равенства остатков при делении на 5. Это отношение записывается m ≡ n (mod 5) или
mod 5
m n .
1
Очевидно, что r5(m) = r5(n) тогда и только тогда, когда число m – n делится на 5 без
остатка, т.е. |
k Z : m n 5k , что означает, что равны по модулю 5 все числа, разность |
между которыми кратна пяти. Это, к примеру, числа 1 ≡ 6 ≡ 11 (mod 5), 3 ≡ 8 ≡ 13 (mod 5). Подобным образом можно определить отношения равенства по произвольному
модулю p N . При p = 1 получаем обычное отношение равенства |
чисел. |
При p 1 |
|
данное отношение определяется следующим образом: |
|
|
|
m, n Z : m n mod p k Z m n pk . |
|
□ |
|
Свойства бинарных отношений |
|
|
|
1°.Рефлексивность: |
a A: aRa ; |
A |
R |
|
a, a R. |
|
|
|
|
|
|
Это означает, что диагональ декартова квадрата A2 содержится |
во |
A |
|
множестве R (см. рис. 7). |
|
Рис. 7 |
|
|
|
||
2°.Антирефлексивность: |
a A: aRa ; |
|
|
|
a, a R. |
A |
R |
|
|
|
|
Это означает, что ни одна точка диагонали декартова квадрата A2 не |
A |
||
принадлежит множеству R (см. рис. 8). |
|
||
|
Рис. 8 |
||
|
a,b A : aRb bRa ; |
|
|
3°.Симметричность: |
|
|
|
|
a,b R b, a R , |
т.е. множество R симметрично относительно диагонали декартова |
||
квадрата A2 (см. рис. 9). |
|
|
4°.Антисимметричность: |
a,b A : |
aRb & bRa a b; |
|
|
a,b R & b, a R a b, |
т.е. во множестве R нет ни одной пары симметричных точек вне диагонали декартова квадрата A2 (см. рис. 10).
5°.Транзитивность: |
a,b, c A : aRb & bRc aRc ; |
|
a,b R & b, a R a, c R , |
т.е. движение, показанное на рис. 11 стрелками, не выводит за пределы множества R.
6°.Антитранзитивность: |
a,b, c A : aRb & bRc aRc ; |
|
a,b R & b, a R a, c R. |
7°.Полнота (связность): |
a,b A : a b aRb bRa ; |
A R
A
Рис. 9
A R
A
Рис. 10
c A
b
b A a
Рис. 11
a b a,b R b, a R , т.е. любая точка вне диагонали либо сама принадлежит множеству R, A либо симметричная ей точка является элементом R. Пример полного отношения приведён на рис. 12.
Если на множестве A задано бинарное отношение R и
рассматривается некоторое B A , то отношение
RB a, b : a, b B & aRb R B2
называется сужением отношения R на подмножество B.
Сужение может обладать иными свойствами, нежели само отношение, которого оно задано.
R
A
Рис. 12
на основе
2
Пример 1.
Рассмотрим строгое неравенство действительных чисел (1) и проверим для него наличие описанных свойств.
1°.Рефлексивность: x ; : x x .
Полученное утверждение является ложным, значит, рассматриваемое отношение не является рефлексивным.
2°.Антирефлексивность: x ; : x x .
Высказывание в скобках является ложным для любого x, поэтому всё утверждение оказывается истинным, т.е. отношение строгого неравенства действительных чисел
является антирефлексивным. |
(+) |
3°.Симметричность: x, y ; : x y y x . |
|
При выполнении (И) первого неравенства второе всегда будет нарушаться (Л), и логическое следствие обратит всё утверждение в ложь ( И Л Л ). Таким образом, свойством симметричности рассматриваемое отношение не обладает.
4°.Антисимметричность: x, y ; : x y & y x x y .
Известно, что результат логического следствия может оказаться ложью только в случае, когда посылка является истинной, а следствие ложным. Однако для записанного предиката невозможно подобрать таких значений x и y, для которых одновременно выполнятся оба неравенства (и результатом конъюнкции будет истина), поэтому посылка всегда будет ложной, а значит, независимо от истинности (ложности) следствия, всё утверждение будет истинным ( Л Л И , Л И И ). А это означает антисимметричность бинарного отношения строгого неравенства
действительных чисел. |
(+) |
5°.Транзитивность: x, y, z ; : x y & y z x z . |
|
Истинность данного утверждения очевидна, и рассматриваемое отношение
транзитивно. |
(+) |
6°.Антитранзитивность: x, y, z ; : x y & y z x z |
|
Ясно, что данное утверждение ложно, и свойством антитранзитивности |
|||||||
рассматриваемое бинарное отношение не обладает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||
7°.Полнота (связность): x, y ; : x y x y y x . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
||
Истинность данного высказывания также очевидна, |
а значит, |
|
|
||||
0 |
x |
||||||
бинарное отношение строгого неравенства действительных чисел |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
является полным. |
(+) |
|
|
|
|
|
|
Приведённый на рис. 13 график данного бинарного |
отношения |
|
Рис. 13 |
|
|||
также хорошо иллюстрирует наличие указанных свойств. |
|
|
|
|
|
□ |
Отношение эквивалентности
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пусть на множестве A задано отношение эквивалентности R. Тогда классом эквивалентности (смежности) элемента a A называется множество:
a | R b A : bRa ,
т.е. множество элементов, эквивалентных ему.
3
Два элемента множества будут эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу смежности.
Множество всех классов смежности множества A называется его фактор-
множеством и обозначается:
A | R a | R : a A .
Пример 2.
Заданное на множестве студентов факультета отношение принадлежности одной учебной группе, можно показать, является отношением эквивалентности. Классами эквивалентности при этом являются отдельные учебные группы, а фактор множеством – множество учебных групп факультета. □ Фактор-множества множества A является его разбиением на непустые классы, т.е.
имеет место Теорема. Эквивалентность, заданная на множестве, определяет некоторое разбиение
этого множества на классы эквивалентности.
|
Обратная теорема. Любое разбиение Bi |
: i I множества A на непустые классы |
определяет некоторую эквивалентность R на множестве A. |
||
|
Например, отношениями эквивалентности являются: |
|
отношение параллельности прямых на плоскости; |
||
|
отношения равенства целых чисел по модулю p ( p N ); |
|
отношение на множестве действительных чисел, задаваемое следующим образом: |
||
|
a, b R : aRb a b Q ; |
|
|
отношение тождества A a, a : a A |
на любом множестве A, в частности, |
отношение равенства действительных чисел; |
|
|
отношение подобия геометрических фигур; |
|
|
|
отношение равномощности множеств. |
□ |
Отношение порядка
Бинарное отношение R называется отношением порядка, или просто порядком, если оно антисимметрично и транзитивно.
Рефлексивный порядок называется нестрогим, антирефлексивный – строгим. Обозначаются они символами ≤ (или ) и < (или ) соответственно.
Множество, на котором задано отношение порядка, называется упорядоченным. Различают строго и нестрого упорядоченные множества. То, что множество A является упорядоченным с порядком R, обозначается (A, R). На одном множестве может быть задано несколько различных порядков, т.е. множество может быть упорядочено различными образами.
Пусть дано множество A с заданным на нём отношением порядка R. Тогда, если два элемента a, b A связаны между собой отношением R, т.е. aRb bRa , или, то же самое,
a, b R b, a R , то они называются сравнимыми, в противном случае элементы a и b
называются несравнимыми.
Отношения порядка также называют иногда отношениями предшествования, и, если aRb, то считается, что элемент a предшествует b или a не превосходит b, или b следует за элементом a.
4
Порядок называется линейным, или совершенным, если он является полным. Если же он свойством полноты не обладает, то он называется частичным.
Множества с установленным на нём отношением частичного или линейного порядка, называется, соответственно, частично или линейно упорядоченным.
Таким образом, в линейно упорядоченном множестве любая пара элементов сравнима, в частично же упорядоченном множестве есть несравнимые элементы.
Примеры.
1) Из примера 1 видно, что бинарное отношение строгого неравенства действительных чисел является строгим линейным порядком. Таким образом, множество действительных чисел может быть строго линейно упорядочено с помощью данного бинарного отношения.
2) |
Отношение включения множеств, определённое на |
2 |
|
, где |
|
– произвольное |
||
|
||||||||
множество, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, B 2 |
|
: ARB A B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
является частичным порядком. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Отношение делимости натуральных чисел: |
|
|
|
|
|
||
|
m, n N : mRn m делит n , |
|
|
|
|
|
является частичным порядком.
4)Отношение неравенства кортежей является частичным порядком, т.к. существуют несравнимые кортежи.
5)Отношение лексикографического неравенства кортежей является линейным порядком, поскольку обладает свойством полноты. Докажем это. Для этого предположим, что x y , тогда, очевидно,
i 1, n : x |
i |
|
y |
i |
. |
|
|
|
|
||
Обозначим: |
|
|
|
|
|
k min i : x |
i |
y |
. |
||
|
|
|
i |
|
Это означает, что
x |
k |
y |
& i 1, k 1: x |
i |
y |
. |
|
k |
|
i |
|
Кроме того, x означает, что
k x
yk означает, y , а второго
что или
– что |
y |
xk < yk, или yk < xk. Выполнение первого неравенства
x , что и требовалось доказать. |
□ |
5