Отношения и графы. Отображения, индуцируемые графами
|
Пусть G = (V, Γ) |
– орграф. Очевидно, |
V |
2 |
и является бинарным отношением на V. И |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
наоборот: если R V |
2 |
, где V – конечное непустое множество, то пара (V, R) является орграфом. |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
Отображение :V V , индуцируемое орграфом G, определяется так: |
v V : v w V : v,w . |
||||||||||||||||
Можно ввести обратное отображение: w V : |
1 |
w v V : v,w . Тогда множество Γ(v) будем |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
называть множеством образов вершины v, а Γ–1(w) – множеством прообразов вершины w. |
||||||||||||||||||
|
И наоборот: если |
f : V V – отображение, то графом этого отображения называется орграф |
||||||||||||||||
Gf = (V, Γ), где v, w : v V & w f v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Изоморфизм графов |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
Два графа G = (V, X) и H = (W, Y) называют изоморфными и обозначают G ~ H или G ~ H , |
|||||||||||||||||
если существует взаимнооднозначное соответствие f : V → W, сохраняющее связность, т.е. |
||||||||||||||||||
|
G ~ H , если |
f : V W v |
, v |
j |
V |
v |
, v |
j |
X f v |
, f v |
j |
Y . |
||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|||
|
Геометрически изоморфность графов означает возможность наложения их диаграмм друг на |
|||||||||||||||||
друга без разрывов и склеиваний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Теорема 8. Изоморфность графов является отношением эквивалентности на множестве графов. |
|||||||||||||||||
|
Необходимые условия изоморфности графов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Теорема 9. Пусть G = (V, X), H = (W, Y). Тогда, если G ~ H, то G1 |
G H1 H : G1 ~ H1 . |
||||||||||||||||
|
Теорема 10. Если графы G = (V, X) и H = (W, Y) изоморфны, то в них одинаково: |
|||||||||||||||||
1. |
число вершин и ребер ( V W , |
X Y ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
число вершин степени k, k 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
d(G) = d(H); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
число простых циклов длины k, |
k 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
число компонент: K(G) = K(H). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матричное представление графов
Пусть G = (V, X) – простой (p, q)-граф, V = {v1, v2, …, vp), X = {x1, x2, …, xq).
Матрица смежности графа G – матрица A(G)p×p, в которой
|
1, если |
v |
i |
см v |
j |
, |
aij |
|
|
|
|
||
|
|
|
случае. |
|||
|
0, в противном |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства матрицы смежности A(G): |
|
||||||
1) |
A(G) – симметричная матрица (AT = A); |
|
||||||
2) |
i 1, p aii 0 – граф не содержит петель; |
|
||||||
|
i |
|
aij d vi – число единиц в i-й строке равно степени d(vi) вершины vi. |
|||||
3) |
1, p |
|||||||
|
|
|
j |
|
||||
|
|
|
|
1, если |
vi инцидентна x j , |
|||
|
Матрица инциденций графа G –матрица B(G)p×q, в которой bij |
|
||||||
|
|
|
|
0, в противном случае. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Нетрудно доказать, что A = BBT – diag{d1, d2, …, dp}, где di = d(vi), i 1, p . |
|
||||||
|
Т.к. каждое ребро графа инцидентно двум разным вершинам, то каждый столбец матрицы |
|||||||
инциденций B(G) содержит ровно два единичных элемента, т.е. j |
|
: bij |
2. |
|||||
1, q |
i
Теорема 11. Матрица A(G) и B(G) определяют граф с точностью до изоморфизма.
1