Теорема 12.

Число

(vi – vj)-маршрутов длины n

в графе G = (V, X), равно

элементу

n

матрицы An. Здесь An – n-я степень матрицы A = A(G) графа G.

aij

Следствие. Расстояние ρ(vi, vj) в графе G равно наименьшему из целых чисел n, для которых

n

n

0 .

элемент aij

матрицы An отличен от нуля, т.е. vi , v j inf n : aij

Если граф G связный, то

vi , v j : vi , v j q ,

значит, указанным следствием можно

пользоваться для проверки связности графов и отыскания расстояний между вершинами.

Теорема 13. Граф G = (V, X) не связный тогда и только тогда, когда существует нумерация

вершин, при которой матрица смежности A(G) имеет квазидиагональный вид.

Матрица смежности мультиграфа G = (V, X), V p , – (p×p)-матрица, в которой элемент

aij равен числу кратных ребер, соединяющих вершины vi и vj.

Для псевдографов диагональные элементы матрицы A(G) могут отличными от нуля: aii ≠ 0,

если имеется петля в вершине vi.

A p p , в которой aij : vi , v j .

Матрица смежности орграфа G = (V, Γ) – матрица

T

Матрица смежности

орграфа, вообще говоря,

не является симметричной

( A

A ).

Симметризации орграфа можно добиться симметризацией матрицы A G .

n

Теорема 14. если G = (V, Γ) – орграф с петлями и кратными дугами, то элемент a ij

матрицы

A

n

равен числу (vi – vj)-путей длины n.

Отсюда следует, что если существует n0 такое, что

An 0 при всех n > n0, то в орграфе нет

контуров. Подобные результаты справедливы и для простых графов.

Операции над графами

Унарные операции

Пусть дан граф G = (V, X);

W V

, Y X , A – произвольное конечное множество вершин

( A V ); B – множество ребер, не входящих в X: B v, w : v, w V & B X .

1.

Удаление множества вершин W из G – операция, при которой из графа G получается граф

G W V

, X

:

V

V \ W

&

X

X \ x X : w W x инцидентно w .

2.

Удаление множества ребер Y из G – операция, при которой из графа G получается граф

:

V

V

&

X

X

\ Y .

G Y V , X

3.

Добавление множества вершин A к G – операция, при которой получается граф

G A

V

, X

:

V

V A

&

X

X v, w : v V & w A .

4.

Добавление множества ребер B к G – операция, при которой получается граф

:

V

V

&

X

X B .

G B V

, X