Отношения и графы. Отображения, индуцируемые графами

Пусть G = (V, Γ)

– орграф. Очевидно,

V

2

и является бинарным отношением на V. И

наоборот: если R V

2

, где V – конечное непустое множество, то пара (V, R) является орграфом.

Отображение :V V , индуцируемое орграфом G, определяется так:

v V : v w V : v,w .

Можно ввести обратное отображение: w V :

1

w v V : v,w . Тогда множество Γ(v) будем

называть множеством образов вершины v, а Γ–1(w) – множеством прообразов вершины w.

И наоборот: если

f : V V – отображение, то графом этого отображения называется орграф

Gf = (V, Γ), где v, w : v V & w f v .

Изоморфизм графов

f

Два графа G = (V, X) и H = (W, Y) называют изоморфными и обозначают G ~ H или G ~ H ,

если существует взаимнооднозначное соответствие f : V → W, сохраняющее связность, т.е.

G ~ H , если

f : V W v

, v

j

V

v

, v

j

X f v

, f v

j

Y .

i

i

i

Геометрически изоморфность графов означает возможность наложения их диаграмм друг на

друга без разрывов и склеиваний.

Теорема 8. Изоморфность графов является отношением эквивалентности на множестве графов.

Необходимые условия изоморфности графов

Теорема 9. Пусть G = (V, X), H = (W, Y). Тогда, если G ~ H, то G1

G H1 H : G1 ~ H1 .

Теорема 10. Если графы G = (V, X) и H = (W, Y) изоморфны, то в них одинаково:

1.

число вершин и ребер ( V W ,

X Y );

2.

число вершин степени k, k 0

;

3.

d(G) = d(H);

4.

число простых циклов длины k,

k 0

;

5.

число компонент: K(G) = K(H).

Свойства матрицы смежности A(G):

1)

A(G) – симметричная матрица (AT = A);

2)

i 1, p aii 0 – граф не содержит петель;

i

aij d vi – число единиц в i-й строке равно степени d(vi) вершины vi.

3)

1, p

j

1, если

vi инцидентна x j ,

Матрица инциденций графа G –матрица B(G)p×q, в которой bij

0, в противном случае.

Нетрудно доказать, что A = BBT – diag{d1, d2, …, dp}, где di = d(vi), i 1, p .

Т.к. каждое ребро графа инцидентно двум разным вершинам, то каждый столбец матрицы

инциденций B(G) содержит ровно два единичных элемента, т.е. j

: bij

2.

1, q