26) Примеры математических моделей в химии, биологии, экологии, экономике.

Пример 1.Модель клеточного автомата (игра «Жизнь»).

Игра «Жизнь» (англ. Conway'sGameofLife) - клеточный автомат, приду­манный английским математиком Джоном Конвеем в 1970 г. Джон Конвей заин­тересовался проблемой, предложенной в 1940-х годах известным математиком Джоном фон Нейманом, попытавшимся создать гипотетическую машину, которая может воспроизводить сама себя. Джону фон Нейману удалось создать математи­ческую модель такой машины с очень сложными правилами. Конвей попытался упростить идеи Неймана и создал правила игры «Жизнь». Данная игра относится к категории моделирующих, которые имитируют процессы, происходящие в реаль­ной жизни. Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь про­стого расположения живых клеток, проследить за эволюцией исходной позиции.

Место действия этой игры - «вселенная»: размеченная на клетки поверх­ность, безграничная, ограниченная (замкнутая). Каждая клетка на этой поверхно­сти может находиться в двух состояниях: быть живой или быть мертвой (пустой). Клетка имеет восемь соседей (окрестность Мура). Распределение живых клеток в начале игры называется первым поколением. Каждое следующее поколение рас­считывается на основе предыдущего по правилам (генетические законы Конвея):

а) мертвая клетка рядом с тремя живыми клетками-соседями оживает;

б) если у живой клетки есть две или три живые соседки, то эта клетка про­должает жить; в противном случае (если соседей меньше двух или больше трех) клетка умирает (от «одиночества» или от «перенаселенности»).

Игрок не принимает прямого участия в игре, а лишь расставляет «живые» клетки, которые взаимодействуют согласно правилам уже без его участия. Вскоре после опубликования правил, было обнаружено несколько интересных шаблонов (вариантов расстановки живых клеток в первом поколении), в частности глайдер (рис. 2).

Рис. 2. Глайдер

Некоторые такие фигуры остаются неизменными во всех последующих по­колениях, состояние других периодически повторяется, в некоторых случаях со смещением всей фигуры. Существует фигура (Diehard) всего из семи живых кле­ток, потомки которой существуют в течение 130 поколений, а затем исчезают.

Пример 2.Задача на смеси.

В сосуде, объем которого равен Voл, содержится р%-ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемеши­вается. Эта процедура повторяетсяnраз. Спрашивается, по какому закону меняет­ся концентрация соли в сосуде, т. е. какова будет концентрация соли послеnпро­цедур?

Решение.Первоначальное количество соли в растворе равно р/100*V₀.

После того как отлили а л смеси, в растворе осталось р/100 хVo- р/100 * а = р/100 *Vo(1 -a/Vo) соли, а ее концентрация после добавления а л воды стала равнойc₁= р/100*(1-a/V₀). После того как отлили еще а л смеси (но уже с концентрациейc₁), в растворе осталось соли 1/100*V₀(1 -a/V₀) –c₁a= р/100*V₀(1 -a/V₀)², а ее концентрация после добавления а л воды стала равной сг - р/100*(1 -a/Vo)². Нет надобности еще раз проделывать ту же процедуру, чтобы убедиться, что концентрация соли в растворе послеnпереливаний определяется формулойc_n=р/100*(1 -a/Vo)ⁿ.

Пример 3.Модель популяции в условиях сбора урожая.

Рассмотрим популяцию рыб, из которой в текущий момент времен изымает­ся часть популяции («сбор урожая»).

Решение. Модель имеет вид:Xj+1 =xj+axj-kxi,Xo= с, гдеa- коэффициент прироста популяции рыб; к - коэффициент сбора урожая (скорость изъятия особей).

Пример 4.Модель влияния факторов роста на урожайность.

Пусть у_max- максимально возможная (наблюдавшаяся) урожайность некото­рой сельхозкультуры,y(x(t)) - действительно получаемый урожай к моменту вре­мениt, у=у(х), х - доля фактора роста, например, при орошении, х =x(t).

Решение. Модель роста урожайностиy(t) в зависимости от фактора ростаx(t),y_i=y(х_i),x_i=x(t_i):y_i+1=y_i+k(y_max- у_i), где у(0) = у₀- заданное начальное зна­чение урожая.

Пример 5. Задача на рост производительности.

1. Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р %, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10 % больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48, 59 %?

Решение.За первый год выработка возросла в (1 + р/100) раз по сравнению с первоначальной, за второй год - в (1 + (р + 10)/100)раз по сравнению с началом второго года и в (1 + р/100)(1 + (р + 10)/100) по сравнению с первоначальной и со­ставила 1,4859: (1 + р/100)(1 + (р + 10)/100) = 1,4859.

Отсюда р= 17%.

Все указанные модели могут подвергаться уточнению и модификации.