Алгоритм построения совершенного паросочетания для двудольного графа.

Пусть G = (U , V, E) – двудольный граф. Выберем исходное паросочетание Р₁ , например, одно ребро графа G. Допустим, что паросочетание

P_i = (U_i , V_i , E_i) для графа G построенно.

Построим паросочетание P_i+1 для G следующим образом.

1. Выбираем u из U не из P_i . Если такой вершины u нет, то P_i есть совершенное паросочетание. Если есть, то построим в G чередующуюся цепь μ_i = [u₁ , v₁ , u₂ , v₂ , …, u_p , v_p] c u₁ = u, в которой всякое ребро (u_i , v_i ) не принадлежит E_i , а всякое ребро (v_i , u_i+1 ) принадлежит E_i . Если такой цепи нет, то совершенного паросочетания граф G не имеет, а паросочетание P_i является для G максимальным (тупиковым). Цепь μ_i есть P_i – увеличитель.

2. Удаляем из P_i все ребра (v_i , u_i+1 ) и добавляем все ребра (u_i , v_i ) цепи μ_i . Получившееся паросочетание P_i+1 на одно ребро длиннее P_i . Переходим к пункту 1.

Решение:

X1 y1

y₂

x₂

y₃

x₃

y₄

x₄

y₅

x₅

y₆

Рис. 1.

x₁ y₁ Шаг 1. Выбираем исходное паросочетание

P₁ = {(x₁ , y₁)}. P₁ – увеличитель

(чередующаяся цепь) (Рис. 2).

y₂

x₂ μ₁ = [x₂ , y₆]

0

y₃ 1

x₃ Добавляем в P₁ ребро ( x₂ , y₆) (Рис. 3).

y₄

x₄

y₅

x₅

y₆

Рис. 2.

x₁ y₁ Шаг 2. P₂ = {(x₁ , y₁), ( x₂ , y₆)}.

μ₂ = [x₃ , y₆ , x₂ , y₅]

y₂ 0 1 0

x₂ 1 0 1

Единственная единица в первой строке

y₃ из нулей и единиц означает, что

x₃ соответствующее этой единицы ребро

(x₂ , y₆) лежит в P₂ . Убираем это ребро

y₄ из P₂ , а вместо него добавляем два ребра

x₄ (x₃ , y₆), (x₂ , y₅) соответствующие двум

единицам второй строки из нулей и

y₅ единиц. В результате получим следующее

x₅ паросочетание P₃ , число ребер в котором

на одно больше, чем в P₂ (Рис. 4).

y₆

Рис. 3.

x₁ y₁ Шаг 3. P₃ = {( x₁ , y₁), ( x₂ , y₅), (x₃ , y₆)}.

μ₃ = [x₄ , y₃]

y₂ 0

x₂ 1

Добавляем в P₃ ребро ( x₄ , y₃) (Рис. 5).

y₃

x₃

y₄

x₄

y₅

x₅

y₆

Рис. 4.