Курсовая работа по курсу «Графы»

Студент Фадеев М.А.

Группа А-06-08

Преподаватель Набебин А.А.

Москва 2010

Задание 1.21 Для данного неориентированного графа написать маршрут, цепь, простую цепь, цикл, простой цикл, матрицу смежностей (соседства вершин) и матрицу инциденций (принадлежности вершин и ребер). Преобразовать данный неориентированный граф в ориентированный и написать для него ормаршрут, путь, простой путь, контур, простой контур, матрицу смежностей и матрицу инциденций.

G = (V, E) = (V={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, E={(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 9), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 9), (4, 8), (4, 9), (6, 8), (7, 8), (7, 9)}).

Решение:

Степени вершин:

deg(1) = 4, deg(2) = 4, deg(3) = 4,

deg(4) = 4,тdeg(5) = 3, deg(6) = 4,

deg(7) = 4, deg(8) = 3, deg(9) = 4

Маршрут:

1-9-3-4-8-7-1-6-2-7-1-5-2-6-8-4-2-5-3-4-9

е₁-е₁₆-е₉-е₁₂-е₁₇-е₁₅-е₂-е₄-е₁₀-е₁₁-е₁₄-е₇-е₈-е₁₇-е₁₃-е₅-е₆-е₁-е₃

1е₁-5е₁₆-3е₉-9е₁₂-7е₁₇-8е₁₅-6е₂-1е₄-9е₁₀-4е₁₁-3е₁₄-6е₇-2е₈-7е₁₇-8е₁₃-4е₅-2е₆-5е₁-1е₃

Цепь:

1-9-7-8-6-3-5-2-4

е₄-е₁₂-е₁₇-е₁₅-е₁₄-е₁₆-е₆-е₇-е₈-е₃-е₁₂-е₁₀-е₁₁-е₉

1е₄-9е₁₂-7е₁₇-8е₁₅-6е₁₄-3е₁₆-5е₆-2е₇-2е₈-1е₃-7е₁₂-9е₁₀-4е₁₁-3е₉

Простая цепь:

1-5-3-9-7-8-4-2-6

е₁-е₁₆-е₉-е₁₂-е₁₇-е₁₃-е₅-е₇

1е₁-5е₁₆-3е₉-9е₁₂-7е₁₇-8е₁₃-4е₅-2е₇

Цикл:

1-9-7-8-6-3-4-2-5-1

е₄-е₁₂-е₁₇-е₁₅-е₁₄-е₁₁-е₅-е₆-е₁

1е₄-9е₁₂-7е₁₇-8е₁₅-6е₁₄-3е₁₁-4е₅-2е₆-5е₁

Простой цикл:

1-9-7-8-4-2-5-1

е₄-е₁₂-е₁₇-е₁₃-е₁₁-е₁₆-е₆-е₇-е₂

1е₄-9е₁₂-7е₁₇-8е₁₃-4е₁₁-3е₁₆-5е₆-2е₇-6е₂

Матрица смежностей: Матрица инциденций:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 е₁ е₂ е₃ е₄ е₅ е₆ е₇ е₈ е₉ е₁₀ е₁₁ е₁₂ е₁₃ е₁₄ е₁₅ е₁₆ е₁₇

┌ ┐ ┌ ┐

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 1 1 1 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 1 1 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

А = 4 0 1 1 0 0 0 0 1 1 , B = 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0

5 1 1 1 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

6 1 1 1 0 0 0 0 1 0 6 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

7 1 1 0 0 0 0 0 1 1 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

8 0 0 0 1 0 1 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1

9 1 0 1 1 0 0 1 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0

└ ┘ └ ┘

Ориентированный граф:

G = (V, E) = (V={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}, E= {(1, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 5), (1, 5), (3, 7), (5, 6), (6, 7)}).

Степени вершин:

deg(1) = 3, deg(2) = 2, deg(3) = 3,

deg(4) = 2, deg(5) = 3, deg(6) = 2,

deg(7) = 3.

Ормаршрут:

124376515673

е₁ е₂ е₃ е₈ е₇ е₆ е₅ е₄ е₆ е₇ е₉

1е₁ 2е₂ 4е₃ 3е₈ 7е₇ 6е₆ 5е₅ 1е₄ 5е₆ 6е₇ 7е₉3

Путь:

737651243

е₉ е₈ е₇ е₆ е₅ е₁ е₂ е₃

7е₉ 3е₈ 7е₇ 6е₆ 5е₅ 1е₁ 2е₂ 4е₃ 3

Простой путь:

1243765

е₁ е₂ е₃ е₈ е₇ е₆

1е₁ 2е₂ 4е₃ 3е₈ 7е₇ 6е₆ 5

Контур:

7376512437

е₉ е₈ е₇ е₆ е₅ е₁ е₂ е₃ е₈

7е₉ 3е₈ 7е₇ 6е₆ 5е₅ 1е₁ 2е₂ 4е₃ 3е₈ 7

Простой контур:

12437651

е₁ е₂ е₃ е₈ е₇ е₆ е₅

1е₁ 2е₂ 4е₃ 3е₈ 7е₇ 6е₆ 5е₅ 1

Матрица смежностей: Матрица инциденций:

┌ ┐ ┌ ┐

1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

3 0 0 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

А = 4 0 1 1 0 0 0 0 1 1 , B = 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0

5 1 1 1 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

6 1 1 1 0 0 0 0 1 0 6 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

7 1 1 0 0 0 0 0 1 1 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

8 0 0 0 1 0 1 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1

9 1 0 1 1 0 0 1 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0

└ ┘ └ ┘

Задание 2.21

Найти кратчайший путь между вершинами s=v₁, t=v₄ в нагруженном связно ориентированном графе

G=(V,E)=(V={v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆,v₇,v₈,v₉}, E={{v₁,v₂,8}, (v₁,v₇,8),{v₁,v₈,4},{v₁,v₉,2},{v₂,v₃,8},{v₂,v₇,2},{v₂,v₉,6},{v₃,v₄,2},{v₃,v₆,4},(v₃,v₉,2),(v₄,v₅,0), (v₄,v₆,2),{v₄,v₇,6},(v₅,v₆,2),{v₆,v₇,8},{v₆,v₈,4},{v₆,v₉,2},{v₇,v₉,6},{v₈,v₉,2}}).

Вес w_ij ребра {v_i,v_j} или дуги (v_i,v_j) равен N(i²+j²)+ i²+j² +i+j по модулю 10 (остаток от деления w_ij на 10). N есть номер варианта (N=21).

Неориентированные ребра (проходимые в обоих направлениях) указаны в фигурных скобках, ориентированные ребра указаны в круглых скобках. Третья координата ребра есть его вес.

Помечивающий алгоритм (Дейкстры) поиска кратчайшего (с наименьшим весом) пути между двумя вершинами s и t в связном нагруженном ориентированном графе.

1.Вычисление наименьшего веса пути от s к t.

1. Присвоим вершине s постоянную (подчеркнутую) пометку 0. Вершину s объявляем активной и помечаем знаком плюс. Всем остальным вершинам присвоим временные (неподчеркнутые) пометки ∞. Переход к шагу 2.

2. Если пометка вершины t постоянна (подчеркнута), то алгоритм заканчивает работу. Пометка вершины t равна весу кратчайшего пути от s к t. Постоянные пометки других вершин равны весам кратчайших путей от s к t. Если пометка вершины t временная, то переход к шагу 3.

3. Изменим временные пометки вершин v, соседних (по дугам) с активной, следующим образом. Присваиваем вершине v временную пометку, равную сумме пометки активной вершины и веса дуги , идущей в вершину v из активной вершины, если эта сумма меньше, чем существующая временная пометка вершины v. В противном случае оставим у вершины v прежнюю пометку. Переход к шагу 4.

4. Среди всех остальных вершин с временными пометками найдем вершину с наименьшей пометкой. Если таких вершин несколько, то возьмем любую из них, объявив её постоянной, а эту вершину - новой активной вершиной, которую помечаем знаком плюс. Прежняя активная вершина свой плюс теряет. Переход к шагу 2.

Построение наименьшего пути от s к t.

Кратчайший путь от s к t соответствует(в обратном порядке) начинающейся в t и заканчивающейся в s любой последовательности вершин, в которой каждая предыдущая вершина смежна (по дуге) с последующей, при чем разность между пометками соседних вершин последовательности равна весу ребра, соединяющему эти вершины.

Решение:

Шаг 1. Присвоим вершине s=v₁ постоянную пометку 0. Остальные вершины получают временные пометки ∞. Вершину s=v₁ объявляем активной и помечаем знаком плюс. Переход к шагу 2.

Шаг 2. Вершина t=v₄ постоянной пометки не имеет. Переход к шагу 3.

Шаг 3. Среди всех вершин с временными пометками соседние с активной вершиной s=v₁ с пометкой 0 вершины v₂, v₉,v₈,v₇ имеют временные пометки ∞. Для v₂: 0+8=8<∞ ;v₉: 0+2=2<∞;v₈: 0+4=4<∞; v₇: 0+8=8<∞;. Присваиваем для v₂, v₉,v₈,v₇ новые временные пометки 8 ,2,4,8 соответственно. Переход к шагу 4

.

Шаг 4. Из всех временных пометок пометка 2 для v₉ наименьшая. Объявляем пометку 2 для вершины v₉ постоянной, вершину v₉объявляем активной и помечаем знаком плюс. Вершина v₁ свой плюс теряет. Переход к шагу 2

Шаг 2. Вершина t=v₄ постоянной пометки не имеет. Переход к шагу 3.

Шаг 3. Среди всех вершин с временными пометками соседние с активной вершиной s=v₉ с пометкой 2 вершины v₂,v₆,v₈ имеют временные пометки 8 , ∞, 4. Для v₂: 2+6=8<8 ;v₇: 2+3=6<8;

v₉: 3+1=4<6 Присваиваем для v_{3 ,} v_7, v₉ новые временные пометки 12, 6,4. Переход к шагу 4.

Шаг 4. Из всех временных пометок пометка 2 для v₈ наименьшая. Объявляем пометку 2 для вершины v₈ постоянной, вершину v₈ объявляем активной и помечаем знаком плюс. Вершина v₉ свой плюс теряет. Переход к шагу 2

Шаг 2. Вершина t=v₄ постоянной пометки не имеет. Переход к шагу 3.

Шаг 3. Среди всех вершин с временными пометками соседние с активной вершиной s=v₉ с пометкой 4 вершина v₆,v₇ , v₈ имеют временные пометки ∞ ,6,9. Для v₆: 4+1=5<∞ ; 4+6=10>6;

v₈: 4+7=11>9. Присваиваем для v₆ новую временную пометку 5. Переход к шагу 4.

Шаг 4. Из всех временных пометок пометка 5 для v₆ наименьшая. Объявляем пометку 5 для вершины v₆ постоянной, вершину v₆ объявляем активной и помечаем знаком плюс. Вершина v₉ свой плюс теряет. Переход к шагу 2

Шаг 2. Вершина t=v₄ постоянной пометки не имеет. Переход к шагу 3.

Шаг 3. Среди всех вершин с временными пометками соседние с активной вершиной s=v₆ с пометкой 5 вершины v₃,v₇ ,v₈ имеют временные пометки 12, 6,9. Для v₃: 5+9=14>12 ;

v₇: 5+3=8>6, v₇: 5+4=9>=9.

Шаг 4. Из всех временных пометок пометка 6 для v₇ наименьшая. Объявляем пометку 6 для вершины v₇ постоянной, вершину v₇ объявляем активной и помечаем знаком плюс. Вершина v₂ свой плюс теряет. Переход к шагу 2

Шаг 2. Вершина t=v₄ постоянной пометки не имеет. Переход к шагу 3.

Шаг 3. Среди всех вершин с временными пометками соседняя с активной вершиной s=v₇ с пометкой 6 вершина v₄ имеет временную пометку ∞ . Для v₄: 6+1=7<∞. Присваиваем для v₄ новую временную пометку 7. Переход к шагу 4.

Шаг 4. Из всех временных пометок пометка 7 для v₄ наименьшая. Объявляем пометку 7 для вершины v₄ постоянной, вершину v₄ объявляем активной и помечаем знаком плюс. Вершина v₇ свой плюс теряет. Переход к шагу 2

Шаг 2. Пометка 7 вершины t=v₄ постоянна. Алгоритм заканчивает работу. Пометка 7 вершины t равна весу кратчайшего пути из s в t.

Построение кратчайшего пути от s к t.

Пусть f^-1(v) есть множество всех вершин v’, смежных с v; d(v)есть пометка вершины v; c(v_i,v_j) есть вес ребра (v_i,v_j).

f^-1(t)={v₃,v₅,v₆, v₇}, d(t)-d(v₃)=7-12=-5≠7=c(v₃,t); d(t)-d(v₅)=7-∞≠2; d(t)-d(v₆)=7-5≠6; d(t)-d(v₇)=7-1=1=c(v₇,t)=1.

v₇,t есть последовательность кратчайшего пути.

f^-1(v₇)={v₂, v₉}, d(v₇)-d(v₂)=6-3=3=c(v₂,v₇)=3; d(v₇)-d(v₉)=6-4=2≠c(v₆,v₃)=6;

f^-1(v₂)={s,v₉}, d(v₂)-d(v₉)=3-4= -1≠c(v₉,v₂)=1; d(v₂)-d(s)=3-0=3=c(s,v₂)=3;

s,v₉,v₆, ,v₇,t есть кратчайший путь от s к t.

Ответ: Путь s=v₁→ v₉→ v₆→ v₇=t от s к t кратчайший.

Его (наименьший ) вес есть 4.

Задание 3.21

Проверить, является ли граф из задачи 1 эйлеровым (если граф не эйлеров, то достроить его до эйлерова графа) и найти в нем эйлеров цикл.

Алгоритм 1.

Выбираем цикл в G:

С₁ = 2352;

G₁ = G − С₁ = {(1, 2), (1, 6), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}.

Выбираем цикл в G₁:

С₂ = 63456; G₂ = G₁ − С₂ = {(1, 2), (1, 6), (2, 6)}.

Выбираем цикл в G₂:

С₃ = 1261; G₃ = G₂ − С₃ = .

Из циклов С₁, С₂, С₃ комбинируем эйлеров цикл. Выбираем два цикла

С₁ = 2352, С₂ = 63456 с общей вершиной 3; получаем цикл С₄ = 23456352. Циклы С₄, С₃ объединяем по общей вершине 6; получаем С₅ = 23456126352. Цикл С₅ является эйлеровым циклом.

Алгоритм 2.

Эйлеров цикл в четном графе можно построить, начав его любым ребром, а затем последовательно надстраивая его вправо смежными ребрами, одновременно удаляя выбранные ребра из графа и следя за тем, чтобы при очередном удалении ребра из графа он не распался на несвязные компоненты, или не очутились в изолированной вершине, не исчерпав при этом всех ребер графа.

Построим эйлеров цикл в эйлеровом графе G = (V, E) с множеством вершин V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} и следующими ребрами:

е₁ = (1, 2), е₂ = (2, 8), е₃ = (8, 6), е₄ = (6, 4), е₅ = (4, 2), е₆ = (2, 3), е₇ = (3, 4),

е₈ = (4, 5), е₉ = (5, 6), е₁₀ = (6, 7), е₁₁ = (7, 8), е₁₂ = (8, 1).

Мы перечислили ребра в порядке их удаления из графа. Построенная последовательность ребер е₁, е₂, е₃, …, е₁₂ составляет эйлеров цикл. Заметим, что после удаления ребра е₄ нельзя убрать ребро е₈ , ибо полученный тогда граф распадается на две несвязнын компонент. После удаления ребра е₂ нельзя удалять ребро е₁₂ , ибо тогда мы попадаем в изолированную вершину 1, не исчерпав всех ребер графа.

Решение:

е₁ = (1, 2), е₂ = (2, 3), е₃ = (3, 4), е₄ = (4, 5),

3

e₁

е₅ = (5, 6), е₆ = (6, 7), е₇ = (7, 8), е₈ =(1, 8),

e₂

е₉ = (1, 6), е₁₀ = (5 ,8), е₁₁ = (2, 5), е₁₂ = (2, 7),

2

4

e₃

е₁₃ = (3, 6), е₁₄ = (3, 8), е₁₅ = (4, 7), е₁₆ = (1, 4).

e₁₁

e₁₃

e₁₄

e₁

e₄

e₁₂

e₁₅

Степени вершин:

e₁₆

deg(1) = 4, deg(2) = 4, deg(3) = 4, deg(4) = 4,

1

5

e₉

deg(5) = 4, deg(6) = 4, deg(7) = 4,deg(8)=4

e₅

e₈

e₁₀

6

e₆

Маршрут:

8

e₇

7

1-2-7-4-1-6-3-8-5-2-3-4-5-6-7

е₁ е₁₂ е₁₅ е₁₆ е₉ е₁₃ е₁₄ е₁₀ е₁₁ е₂ е₃ е₄ е₅ е₆

1е₁ 2е₁₂ 7е₁₅ 4е₁₆ 1е₉ 6е₁₃ 3е₁₄ 8е₁₀ 5е₁₁ 2е₂ 3е₃ 4е₄ 6е₅ 7е₆

Граф G = (V, E) называется эйлеровым, если все вершины имеют четную степень. Данный граф – эйлеров граф.

С₁ = 2-3-4-5-1-2 (е₂, е₃, е₄, е₁₁, е₁), G₁ = G − С₁ = {(5, 6), (6, 7), (2, 7), (2, 4), (1, 4), (3 ,7), (4, 6), (1, 6), (4, 7), (3, 5)}.

3

е₈

2 4

е₁₀

е₇ е₉

1

е₁₅

е₁₄ е₁₂

5

е₁₃

7 е₆ е₅

6

G₁ = (V, E₁)

С₂ = 1-4-6-1 (е₁₂ , е₉, е₁₃), G₂ = G₁ − С₂ = {(5, 6), (6, 7), (2, 7), (2, 4), (3 ,7),

(4, 7), (3, 5)}.

3

2 е₈ 4

е₁₀

1 е₇ е₁₄

е₁₅

5

7 е₆ е₅

6

G₂ = (V, E₂)

С₃ = 7-2-4-7 (е₇, е₈, е₁₄), G₃ = G₂ − С₃ = {(5, 6), (6, 7), (3 ,7), (3, 5)}.

3

2 4

е₁₀ е₁₅

1

5

7 е₆ е₅

6

G₃ = (V, E₃)

С₄ = 5-6-7-3-5 (е₁₅, е₅, е₆ , е₁₀), G₄ = G₃ − С₄ = .

3

2 4

1

7 5

6

G₄ = (V, E₄)

Эйлеров цикл:

С₁ = 2-3-4-5-1-2

С₂ = 1-4-6-1

С₃ = 7-2-4-7

С₄ = 5-6-7-3-5

С₁₃ = 7-2-3-4-5-1-2-4-7

С₁₂₃ = 7-2-3-4-5-1-4-6-1-2-4-7

С₁₂₃₄ = 7-2-3-4-5-6-7-3-5-1-4-6-1-2-4-7

Ответ: Эйлеров цикл: С₁₂₃₄ = 7-2-3-4-5-6-7-3-5-1-4-6-1-2-4-7

Задание 4.21

В ненагруженном графе G из задачи 1 с помощью алгоритма удаления циклических ребер найти фундаментальную систему циклов и соответствующие множество хорд, каркас, все фундаментальные сечения (разрезы). По теореме Кирхгофа найти число каркасов данного графа.

Решение:

е₁ = (1, 2), е₂ = (2, 3), е₃ = (3, 4), е₄ = (4, 5),

3

e₁

е₅ = (5, 6), е₆ = (6, 7), е₇ = (7, 8), е₈ =(1, 8),

e₂

е₉ = (1, 6), е₁₀ = (5 ,8), е₁₁ = (2, 5), е₁₂ = (2, 7),

2

4

e₃

е₁₃ = (3, 6), е₁₄ = (3, 8), е₁₅ = (4, 7), е₁₆ = (1, 4).

e₁₁

e₁₃

e₁₄

e₁

e₄

e₁₂

e₁₅

Степени вершин:

e₁₆

deg(1) = 4, deg(2) = 4, deg(3) = 4, deg(4) = 4,

1

5

e₉

deg(5) = 4, deg(6) = 4, deg(7) = 4,deg(8)=4

e₅

e₈

e₁₀

6

e₆

Маршрут:

8

e₇

7

1-2-7-3-2-4-3-5-4-6-1-4-7-6-5

е₁ е₇ е₁₀ е₂ е₈ е₃ е₁₅ е₄ е₁₂ е₁₃ е₉ е₁₄ е₆ е₅

1е₁ 2е₇ 7е₁₀ 3е₂ 2е₈ 4е₃ 3е₁₅ 5е₄ 4е₁₂ 6е₁₃ 1е₉

4е₁₄ 7е₆ 6е₅

Граф	Простой цикл	Удаляемое ребро из рассматриваемого цикла
G	С1 = 2-3-4-5-1-2	е1 = (1, 2)
G1 = G − е1	С2 = 7-3-5-6-7	е10 = (3, 7)
G2 = G1 − е10	С3 = 3-4-5-6-7-2-3	е3 = (3, 4)
G3 = G2 − е3	С4 = 7-2-3-5-6-7	е15 = (3, 5)
G4 = G3 − е15	С5 = 2-4-5-6-7-2	е8 = (2, 4)
G5 = G4 − е8	С6 = 7-4-5-6-7	е6 = (6, 7)
G6 = G5 − е6	С7 = 1-4-5-6-1	е13 = (1, 6)
G7 = G6 − е13	С8 = 1-4-5-1	е9 = (1, 4)
G8 = G7 − е9	С9 = 4-5-6-4	е4 = (4, 5)

G₉ = G₉ − е₄ – есть каркас графа G.

Фундаментальная система циклов: {С₁, С₂, С₃, С₄, С₅, С₆, С₇, С₈, С₉};

Множество хорд: H = {е₁, е₁₀, е₃, е₁₅, е₈, е₆, е₁₃, е₉, е₄};

Все фундаментальные сечения (разрезы): H{(2, 3)}, H{(5, 6)}, H{(2, 7)}, H {(1, 5)}, H {(4, 6)}, H {(4, 7)}.

3

e₂