Практичне заняття 4.1 Конденсований стан речовини Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Відстань d (решітка кубічна гранецентрична) дорівнює 0,393 нм. Визначити параметр решітки та густину кристала.

Розв’язок: параметр а решітки та відстань d між найближчими сусідніми атомами зв’язані співвідношенням:

.

Виконаємо обчислення:

.

Густина  кристала пов’язана з молекулярною масою  та молярним об’ємом співвідношенням:

.

Молярний об’єм знаходимо як добуток об’ємуоднієї елементарної комірки на числоелементарних комірок, що містяться в одному молі кристала:

.

Враховуючи, що кількість елементарних комірок для кристала, що складається з однакових атомів, можна знайти, поділивши сталу Авогадро на кількістьn атомів, що припадають на одну елементарну комірку:

.

Підставивши вираз , дістаємо:

.

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Виконаємо обчислення:

.

Приклад 2. Визначити теплоту , необхідну для нагрівання кристаламасою 20г від температури 2 К до температури 4 К. Характеристичну температуру Дебая для вважати такою, що дорівнює 320К і вважати виконаною умову .

Розв’язок: теплоту , що підводиться для нагрівання тіла від температуриТ₁ до Т₂, можна обчислити за формулою:

,

де – теплоємність тіла.

Теплоємність тіла пов’язана з молярною теплоємністю спів­відношенням:

,

де m – маса тіла,  – молярна маса.

Підставивши вираз у формулу , дістаємо:

.

У загальному випадку теплоємність є складною функцією температури, тому виносити її за знак інтеграла не можна. Проте, якщо виконано умову , то відшуканняполегшується завдяки тому, що можна скористатися граничним законом Дебая, за яким теплоємність пропорційна до куба термодинамічної температури:

.

Підставляючи молярну теплоємність у формулу для , дістаємо:

.

Використовуємо інтегрування:

.

Переписуємо здобуту формулу у вигляді:

.

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Виконуємо обчислення:

.

Приклад 3. Обчислити максимальну енергію (енергію Фермі), яку можуть мати вільні електрони в металі (мідь) при температурі 0 К. Вважати, що на кожний атом міді припадає по одному електрону.

Розв’язок: максимальна енергія , яку можуть мати електрони в металі при температурі 0К, пов’язана з концентрацією n вільних електронів співвідношенням:

,

де m – маса електрона, – стала Дірака.

Концентрація вільних електронів за умовою задачі дорівнює концентрації атомів, яку можна знайти за формулою:

,

де  – густина міді, – стала Авагадро, – молярна маса.

Підставляючи вираз n у формулу для , дістаємо:

.

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Виконаємо обчислення:

.

Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання

1. Визначити індекси Міллера площини, що відтинає на осях кубічної решітки відрізки 1, 2 і 3.

2. Визначити, які найменші відрізки відтинає площина, задана ін­дексами Міллера (123), на осях координат простої кубічної решітки.

3. Визначити число z елементарних комірок в одиниці об'єму кристала барію (решітка – об'ємоцентрична кубічна). Густина барію дорівнює .

4. Знайти густину кристала неону, коли відомо, що решітка – гранецентрична кубічна. Стала решітки 0,451 нм.

5. Барій має об'ємоцентричну кубічну решітку. Густина кристала барію дорівнює . Визначити параметр решітки.

6. Алюміній має гранецентричну кубічну решітку. Параметр решітки 0,405 нм. Визначити густину алюмінію.

7. Ванадій має об'ємоцентричну кубічну решітку. Визначити її параметр  й відстань між найближчими сусідніми атомами. Густина ванадію дорівнює .

8. Визначити кількість елементарних комірок кристала міді в одиниці об'єму (решітка – гранецентрична кубічна). Густину міді вважати відомою.

9. Відстань між найближчими сусідніми атомами кристалічної решітки золота дорівнює 0,288 нм. Визначити параметр  решітки, якщо вона гранецентрична кубічна.

10. Нікель має гранецентричну кубічну решітку. Визначити параметр решітки й відстань між найближчими сусідніми атомами. Густину нікелю вважати відомою.

11. Обчислити середню енергію електронів срібла при температурі . Враховуючи, що на кожний атом срібла припадає один вільний електрон. Густина срібла .

12. Обчислити максимальну швидкість руху вільних електронів у калію при температурі . Вважати, що на кожний атом калію припадає один вільний електрон. Густина калію .