Статистика

1. Показатели вариации. Правило сложения дисперсий

Вариация – несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов.

Все показатели делятся на абсолютные и относительные.

Абсолютные показатели вариации:

1. R – размах вариации, R=X_max - X_min , где X_max,min – максимальное и минимальное значение признака

2. среднее линейное отклонение – это среднее отклонение от средней

(если данные не сгруппированы)

(взвешенное среднее линейное отклонение)

3. дисперсия (средний квадрат отклонений от средней)

(невзвешенная формула) (взвешенная формула)

4. среднее квадратическое отклонение

Правило сложения дисперсий:

, где- общая дисперсия признака, рассчитывается по всей совокупности в целом, находится по формулам,- межгрупповая дисперсия, характеризует систематическую вариацию признака, зависит от признака – фактора, положенного в основу группировки, находится по формуле:

, где - средние значение признака-частота

- среднее из групповых дисперсий, характеризует случайную вариацию, находится по формуле:

, где - это групповая дисперсия, которая находится по каждой группе отдельно по формуле:

Относительные показатели вариации

Базой для сравнения в них служит среднее арифметическое. Чаще всего они выражаются в % и характеризуют не только сравнительную оценку вариаций, но и однородность совокупности.

- коэффициент вариаций:

- коэффициент осцилляции: Vr=R/*100%, гдеR- размах вариации, - средняя

- линейный коэффициент вариации Vл=/*100%

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариаций не превышает 33%.

2. Показатели анализа рядов динамики: цепные, базисные, средние

Ряд динамики – последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.

Классификация рядов динамики:

1. По времени:

а) моментные ряды – это последовательность, в которой уровень явления показывает наличие изучаемого явления в конкретный момент времени. Уровни моментного ряда складывать нельзя.

б) интервальные ряды – последовательность, в которой уровень ряда показывает результат накопленный или вновь произведенный за определенный промежуток времени. Уровни можно складывать.

2. По форме представления уровней: а) ряды абсолютных величин, б) ряды относительных величин, в) ряды средних величин.

3. По расстоянию между датами: а) полные ряды – с равными интервалами, б) неполные ряды – с неполными интервалами.

4. По количеству показателей: а) изолированный ( только один рассматриваемый показатель), б) комплексный (2 и более показателей)

Показатели анализа рядов динамики:

1. Показатели интенсивности развития явления:

- цепные (расчет ведется по отношению к предыдущему периоду),

- базисные (расчет ведется к одному и тому же показателю, взятому за базу)

- абсолютный прирост будет равен сумме абсолютных цепных приростов за рассматриваемый период.

- базовый коэффициент роста равен произведению цепных коэффициентов роста.

2. Средние показатели динамики

1. Средний абсолютный прирост:

, где n – количество уровней ряда

2. Средний темп роста:

, где m – количество показателей динам

3. Средний темп прироста:

4. Средний уровень ряда:

а) для интервальных рядов:

- с равными интервалами

- с неравными интервалами ,

где - продолжительность i –го интервала

б) для моментных рядов:

- с равными интервалами (средняя хронологическая)

- с неравными интервалами: сначала находятся средние за каждый интервал:

…;

3. Структура ряда динамики. Методы выделения тренда

Ряд динамики – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.

Любой ряд динамики можно представить в виде следующих составляющих:

1) тренд – основная тенденция развития ряда динамики к возрастанию или убыванию,

2) циклические (в том числе и сезонные) колебания,

3) случайные колебания.

Изучение тренда проводится в 2 этапа:

- ряд динамики проверяется на наличие тренда,

- производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда.

Методы выделения тренда

1. Укрупнение интервалов. Уровни ряда заменяют уровнями, рассчитанными по более продолжительным интервалам, одновременно уменьшая их количество.

2. Скользящая средняя. Исходные уровни заменяются средними величинами, рассчитанными из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. То количество уровней, по которым рассчитывается средняя называют интервалом сглаживания или периодом скольжения, который может быть четным и нечетным. При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала. При четном сглаживании этого сделать нельзя. Поэтому при обработке ряда с четными интервалами их искусственно делают нечеткими, используя ближайший больший нечетный интервал, где их крайних его уровней берут 50%. Смысл скольжения в том, что постепенно из интервала сглаживания исключается первое значение и принимается следующее.

3. Аналитическое выравнивание. Определение основной, проявляющейся во времени тенденция развития изучаемого явления, т.е. развитие представляется как бы в зависимости только от времени. В ходе выравнивания временного ряда получают аналитическую или графическую зависимость от времени. На практике по временному ряду задают вид функции от времени и находят параметры этой функции. Чаще всего выбирают следующие формы зависимости:

- прямая (линейная);

параболическая

- экспоненциальная

Коэффициенты из уравнения тренда можно найти при помощи метода наименьших квадратов. Смысл метода сводится к определению коэффициентов а, которые получаются путем решения системы уравнений, полученной при использовании метода наименьших квадратов.

n-число уровней, t - время

Для простоты решения системы t выбирают таким образом, чтобы

В этом случае:

- средний уровень ряда

Линейная зависимость выбирается, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции не проявляют.

Экспоненциальная зависимость применяется, если наблюдается более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, коэффициентов роста и т.д.).

5. Экономические индексы: понятие, интерпритация

Экономический индекс – это относительный показатель, отражающий изменение социально – экономических явлений или процессов во времени, пространстве или по сравнению с каким – либо эталоном. Простейший показатель в индексном анализе – индивидуальный индекс.

Индивидуальный индекс – это простой относительный показатель, характеризующий изменение отдельных элементов какой – либо совокупности. Предназначен для сравнения однотоварных явлений. Обозначается: i

Индекс цен: , гдер₁ – цена в текущем периоде, р₀ – цена в базисном периоде

Индекс объема реализации:

Индекс товарооборота: , гдеq – объем товара

Сводный индекс – это сложный относительный показатель, характеризующий изменение социально – экономических явлений в среднем. Применяется для явлений, состоящих из непосредственно несоизмеримых величин. Обозначается: I

Индекс товарооборота: показывает во сколько раз увеличивается или уменьшается товарооборот по данной группе. рq - это товарооборот

Индекс физического объема реализации:

Индексы цен: - индекс Ласпейреса (какой бы был)

- индекс Пааше (говорит о действительном росте цен)

Взаимосвязь:

Индексы переменного и постоянного состава

Следующая группа индексов применяется на производственных предприятиях для анализа себестоимости. z - себестоимость , q- физический объем произведенной продукции, zq- издержки

- взаимосвязь

Все рассмотренные выше индексы рассчитываются для нескольких товаров, реализуемых в одном месте. Если же реализуется один товар, но в разных местах, то было бы целесообразно рассчитать его среднюю цену и сравнить как и за счет чего изменилась средняя цена. Для этого применяются индексы постоянного и переменного состава.

Индекс переменного состава цен:

Индекс фиксированного (постоянного) состава:

Индекс структурных сдвигов:

Данные индексы показывают изменения средней цены под влиянием различных факторов: уровня цен и/или структуры реализации

4. Виды признаков. Связи между ними. Оценка тесноты связи

Все явления взаимосвязаны и влияют друг на друга.

Все признаки можно классифицировать на:

1) факторные, т.е. обуславливающие изменения другого признака (х)

2) результативные, т.е. изменяющиеся под влиянием других признаков (у)

А связи между признаками можно разделить по типам:

- функциональная (жестко детерминированная). Каждому значению факторного признака х соответствует одно или несколько жестко определенных значений y;

- статистическая (стохастическая). Среднее значение результативного признака зависит от изменения факторного, т.е. при конкретном значении х, y может принимать различные значения из определенного интервала с разными вероятностями.

Частный случай статистической связи – корреляционная связь. Она заключается в том, что различным значениям одной переменной могут соответствовать различные значения другой переменной.

Виды связей:

а) по направлению: - прямая (с увеличением х, у увеличивается и наоборот), - обратная (с увеличением х, у уменьшается и наоборот)

б) по форме:- линейная (у=ах+в), - нелинейные (любая кривая)

в) по степени тесноты связей: - сильная, - умеренная, - слабая, - отсутствует.

Г) по количеству признаков: множественные и парные

Оценка существенности связей

- линейный коэффициент корреляции: применяется только для линейных связей

( показывает направление связи)

- среднее квадратическое отклонение

Если >0, то связь прямая, если<0, то связь обратная, если=0, то связи нет

- корреляционное отношение: [ 0;1] (О – нет связи, 1-сильная связь)

- коэффициент детерминации: показывает степень влияния факторного признака на результативный

Ранговые коэффициенты

Ранг – это порядковый номер значения признака в порядке возрастания или убывания. Ранжирование это упорядочивание значений в порядке предпочтения. Некоторые значения признака иногда имеют одинаковую количественную оценку, в этом случае ранг всех этих значений будет равен среднему арифметическому от соответствующих номеров мест. Такие ранги называются связанные.

- коэффициент Спирмена:

, где n – число наблюдений,

- коэффициент Кендалла:

, n – число пар рангов, S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий

Связь считается значимой, если значения коэффициентов Спирмена и Кендалла больше 0,5. Интервал [0;1]

- коэффициент конкордации: Характеризует тесноту связи между произвольным числом ранжированных признаков.

, где S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов, n – число наблюдений, m – количество факторов

При изучении связей необходимо решить 2 задачи:

1. изучение формы связи (регрессионный анализ)

2. изучение тесноты связи (корреляционный анализ)