- •Симметрия.
- •2. Понятия относительного равенства и геометрической закономерности. Симметрия как особый вид геометрической закономерности.
- •Симметрия подобия.
- •Винт. Спираль.
- •4. Общее определение асимметрии, дисимметрии и антисимметрии.
- •Кщсеическая ось. Леюа-прааоа
- •— Здание архитектурного факультета а Киеве. Аряит. Л. Фмлеико и др.. 1982;
- •— Композиция аудожиика в. Вазарелли; 3 — общественный центр а Дерби. Архиг. Дж. Стерлинг;
- •— Араитектурный институт а Ссаилье. Архит.
- •— Интерьер Вердеркнраа а Берлина. Архнт.
-
Симметрия подобия.
В соответствии с характером преобразований фигур различают изометрические (ортогональные) и неизометрические (аффинные, проективные и т. д.) группы симметрии.
Изометрические - группы вращений, отражений,параллельных переносов, - сохраняют метрические свойства исходных фигур. К ним относятся все, рассмотренные выше группы симметрии. Изометрические преобразования бесконечных фигур иначе называются «движениями».
Аффинныё группы состоят из совокупностей однородных деформаций -растяжений, сжатий, сдвигов, допускаемых бесконечными фигурами. Отказ от сохранения метрики исследуемых объектов при соответствующих преобразованиях расширяет возможности применения симметрии в научных исследованиях и художественном творчестве.
Группы преобразований подобия являются частным случаем аффинных групп. Элементы последовательного ряда подобных фигур согласуются между собой пропорциональной зависимостью. Они могут быть связаны арифметической геометрической или гармонической пропорцией (рис. 5).
-
Винт. Спираль.
Эти группы симметрии относятся к редко применяемым в архитектуре.Фигура обладает винтовой осью симметрии, если она приходит в совмещение сама с собой после произведенных последовательно двух операций: поворота на угол а и переноса на расстояние равное 1 вдоль оси поворота. Если угол а равен 360°/п, то винтовую ось называют осью порядка nl. Так как закручивание можно производить как вправо, так и влево, то различают винтовые оси правые и левые.
с
Спираль представляет собой геометрическое место точек, которые удовлетворяют единому правилу построения, как например архимедовой спирали г =аср.
Таким образом существует семь основных групп симметрии. Комбинирование числа осей симметрии и другие преобразования позволяют получить на базе этих групп 230 возможных типов точечных решеток, делящих пространство на однородные элементы.
4. Общее определение асимметрии, дисимметрии и антисимметрии.
При тщательном анализе естественных (природных) и исксственных объектов выясняется, что абсолютная симметрия не возможна. «Симметрия состоит из асимметрий и дисимметрий и определяется через них» (А.В.Шубников)
Дисимметрия - это нюансное отклонение от симметрии, проявляющееся в деталях или их расположении в объемно-пространственной форме. Пьеру Кюри принадлежит знаменитая фраза: «Дисимметрия творит явление ... Необходимо, чтобы некоторые элементы симметрии отсутствовали».
Асимметрия - с точки зрения математики - лишь отсутствие симметрии. Асимметричная форма может складываться из симметричных элементов, связи между которыми устанавливаются при помощи других средств композиции, например - равновесия.
Сбалансированная асимметрия стала главным принципом современной архитектуры. Огюст Шуази писал по этому поводу: «каждый архитектурный мотив, взятый в отдельности, симметричен, но группировка сооружений рассматривается как пейзаж с уравновешенными массами. Так действует и прироа - листья деревьев симметричны, а дерево представляет собой уравновешенную массу».
Антисимметрия - это симметрия с полярными или контрастными свойствами. Если одну половину квадрата выкрасить в черный цвет, а другую оставить белой, то мы получим антисимметричную форму; в том же отношении по видимому находятся два куба, один из которых представлен только рёбрами.
Литература :
-
Шубникор А.В., Копцик В.А. «Симметрия в науке и искусстве» М., 1972 г.
-
Вейль Г. «Симметрия», М., 1968 г.
-
Смолина Н.И. «Традиции симметрии в архитектуре», М., 1990 г.
кая закономерность
как особый род ^леской закономерности
Рис.
1
Квадрат
построен геометрически закономерно,
так как он может быть разделен без
остатка на восемь равных частей
Рис.
2
Архимедова
спираль обладает правильностью
строения, так как представляет собой
геометрическое место точек, равных
друг другу в том смысле, что все они
удовлетворяют одному уравнению г »
а<р
■Слева — две совместимо равные фигуры, справа — две вер- асально равные фигуры
Р и с. 5
m
О
ООО О О О О О О О О О О О О О О О
в о
• • * » • •
• * • • • • •
• * t
Рис. 3
Узлы квадратной сетки (а> образуют правильную фигуру* так как каждый из них занимает одинаковое положение среди других узлов. Система точек, расположенных беспорядочно, но- с одной и той же средней плотностью (б), есть правильная фигура, так как ее можно разделить без остатка на участки,, содержащие приблизительно а одно и то же число частиц
/
■гп
г\ .га „я.
f
сигал. шшиг
] |
|
|
|
•I А... |
|
|
|
г |
:. |
В lap
V 111 U II г
|
с®/ |
|
|
(0 |
|
щ |
ш N ; |
|
р; |
|
|
|
|
7i"• |
|
||
|
|
|
|
Ч
h-
о о о о о о
/I
га
А
_ п
вжзов симметрии бордюров
Проекции элементов симметрии бордюров на картинную плоскость
п
U
6 7
-
(а)-а
-
(а): 2 • Т
(а): 2-т
(a):m
[а):2
I——+—-+-
МММ
Бордюры с «ЖО* ММ
асре- иоеов. Савки «апуп (■) П«риалы
аермюом г *eti го>
1»1оитмыш1 Oopaupur р«»- МИ
Корлюри с
пгяшн порога в«- pajM,
шерагндякуяяряыдо ■ ■жили ««pTf»«.
Сними сим ■стрми
(•): ж
Ляогточвс • формул* п«ШЯЧве». что ось
orpcmicna я перпеии*- ктлярия
к оси I
.ГЕтШЕХНГЕШгП
/
*'
"У'уГ"
■ («lilai
ом—
Ф*ТР состоят « и аермое» ы
отрг- к>* я/1 ■ яоематвяим ятря- ■гяп
■ вяосяостя. Сшил м- а«|рм
— (■!•. Тим ■ См- яоля мишт, что
алоеяовть • u|njiMBrr черяя
orь I
Калейдоскопы для образовании бордюров
Г * I. к
Цирлмры а мамотрмв («)•« Ось • ияраллмьн*
rui^H.cn ■
.
B
йм
• вяришавт-
оеноег» ■
um
pi '—»—
им»-.'ИИМЯТрВВ.
СЯМ1
а — два параллельных зеркала служат дли образовании • бордюров вида (а) : т; б — три зеркала, расположенных буквой П, служат для образования бордюров с симметрией (а) : 8 т
|
|
|
V |
БордтрысевмватрмНЬ(•) j9-Мм . |
J С * У ' |
т <■)•«• I т |
^r^j^Q U п |
V |
ч |
/ |
л |
л |
\ |
Ь
Ш1
Ml
Семнадцать видов симметрии сетчатых орнаментов,
^ ^ ^ ^ ^
Одной
и той же системе увлов отвечает
бесконечное множество сеток в зависимости
от способов соединения узлов
Ьь .
Г^Г'ЧГ'^Г^Г'
Построение плоской сетки с помощью осей переносов а и Ь
Г" |
|
|
Ш.Г b^r ^r |
|
J"4 |
www |
|
ha. |
|
|
|
W |
■ч |
www |
A^ |
|
|
|
^r |
Ьь. |
J ^ |
www |
|
^ ^ А
L
Л
*
1Г
if ^
\
J^SftlA
Плоский орнамент с симмст- Правильные системы асимметричных фигур (треугольников), соот- риеЙ (Ь/а) 1 ветствующие 17 видам симметрии плоских орнаментов (по Бюргеру)
liinmriiM
адосвости а глри
Зааплмсваа алиевветв в елг*— савмстрма
(«'«)•■•'
Оряавсвт а ш
(а/а) f
V-м
Фвгуры аааолнлвт
аи|»К1ввоскость
tri промежутков в верекрмтвв
Орцаагат е сии
Заамапм
иллевосгн a
u|Wl nurtpaa (« a|:»'l Для соаиевмваа с
уставом»! рас. КЗ треугоаьаро сапу ммуп
повернуть аа М* вокруг оса I
—
Ipwii
(in)iai Сипи фагурм ипмают плоскость
йтг иротярим a Mpexpuiil
Оравши г с сиич
Г|и1
(в/а) аа - |г » : а) «
ва Раввы* фагура> laaoiaaarr
адос-
кость бс> прочел
у 1 ввв а агрг- врктвй
Opaaaiai г
еввигт
вость Два аромпвушо*
в нерс- ВрММ>
mm
Плоскость |щ»ц
равамаа Nrjiaa
Sea
apgaaij iaaa
a вере«р«егм|.
a
Зиингние (иогкистя в rjj-чм
еввветрии |>.<): J Элементарная
ячейка обрам* аама oOMiaaruta uyi
права льны i треугольников
Oguwnn
с
смавгтраа* <» : а):
I
Г: Г->(»: •) |« 9 а
Плоскость ММ.1Ш1
рааимив фагураня (ц оромигутаоа "
перекрытЩ
рпе*
|t а)>а • — оЛвш» случая-.
Й - ||д| - вме фагурм аапияаяыт алог-DamaiiH»»paaaiaiB
е(,<миш
Знании
н»р>1 canumi porntot сгоаанвжеа
a ataol aapaaaaинчч
(а вро- fMji mi в иг
рмуцш! ■ ujw синий*
1«
«1
Четырнадцать решеток Брав»
Если допустить ^сферическую симметрию узлов, то пространственными1 группами 14 решеток Бравэ будут: i — Pi\ г — Р2/т; J — С2/т\ 4 — Рттт\ 5 — Cmmm; 6 — Immm; 7 — Fmmm; 8 — P6/mmm; 9 — R3m; 10 — P4/mmm; 11 — I 4/mmm; 12 — Pm3m\ 13 — Imfm\ 14 — Fm3m.
А |
|
1 |
|
с |
г. |
С-К |
V- |
Ж
b
6
\
1
\ /.
a t
X
i 4
V
a
11
a
12
14
13
Семь калейдоскопов для образования дисконтинуумов наивысшей симметрии
во
ои
/во*\
Деление тетраэдра
четырьмя рядами па* раллельных плоскостей
HUD
Традиционно симметрия в архитектуре понимается лишь как своеобразная геометрическая закономерность. С привлечением одного из основных значений общенауч-г ного понятия симметрии: представления о симметрии как форме любой закономерности — структурной, смысловой, абстрактной и г. д. — понятие архитектурной симметрии приобретает новые значения и может наряду с традиционным представлением о симметрии объекта созерцания или творчества включать представление о симметрии как особенности мышления, как свойства человека, воспринимающего или создающего симметричную форму.
Попытаемся в общи* чертах наметить представление о симметрии а архитектуре как некую единую понятийную конструкцию. Речь идет о понятии, которое охватывает совокупность многих значений, смыслов, отношений — особой схеме знания в границах существования самого понятия в профессии.
Профессиональнее осмысление понятия симметрии заключается, на наш взгляд, а своеобразном толковании специальных терминов и смыслов в категориях архитектуры, Трудность, однако, состоит именно в универсальности (по определению) симметрии: приложимости ее идей к интерпретации всякого рода закономерностей, любого порядка — конкретных фактов, отвлеченных идей, сюжетных аналогий и т. п. Наблюдение закономерностей симметрии в профессиональном мышлении, традициях творчества расширяет традиционно сложившееся понимание симметрии за счет ее негеометрических толкований.
В дальнейшем изложении будут рассмотрены три аспекте — три формы «существования» симметрии в архитектуре. Первый аспект мы назвали «геометрическим». Здесь симметрия предстает объективной структурной закономерностью, присущей сооружению. Второй аспект — «социокультурный и. Эта негеометрическая сущность симметрии охватывает субъективные и объективные закономерности в профессиональном творчестве как инвариантные культурные смыслы, оформляющие принципы композиционного мышления. Третий аспект — «инструментальный» — представляет симметрию чак широко понимаемый процесс, способ упорядочения: приемы проектной графики, мыслительные схемы, системное рассмотрение проектной задачи и т. п.
Для уяснения единства этих аспектов, думается, уместна аналогия архитектурной симметрии с языком как системой знаков, способом осуществления профессионального сознания . При этом наглядные элементы геометрической симметрии соотносятся со словарем как «палитрой» графи-
«Язык — системе зна- эв, служащая средством человеческого об;деии>, мышления и выражения» (Философская энциклопедия.— М„ 1970-—^ Т. 5.— С. 604).
ческих и конструктивных возможностей симметрии. В «геометрическом» аспекте нашей системы понятия предполагается описание этого словаря, изобразительной функции симметрии в структуре архитектурной формы. Значением и смыслом наглядных образов симметрии ведает иная, негеометрическая сущность симметрии, которая раскрывает отношения изображения к изображаемому, т. е. соответствие зримых закономерностей структурам мыслительным. Эта символическая функция симметрии раскрывает семантику, социокультурное содержание привычных приемов построения и профессиональных «умственных привычек» композиционного мышления.
Символическая функция симметрии рассматривается в «социокультурном» аспекте. И, наконец, симметрия — процесс как средство осуществления профессионального сознания — орудие композиционного мышления соотносится с речью и как средство графического оформления архитектурной мысли — с синтаксисом. «Речевая», разговорная функция симметрии рассматривается в «инструментальном» аспекте. Эти разноплановые слои наших представлений о симметрии имеют единую геометрическую основу в архитектурном произведении.
Условно выделенные позиции, конечно, не исчерпывают всего смыслового многообразия архитектурной симметрии, но для начала могут служить узлами общей структуры понятия как мыслительной схемы. Наша цель — построение некой системы, канвы для обобщения разрозненных представлений.
Геометрический аспект. Различают несколько видов симметрии в архитектурной композиции, которые, будучи общими для отдельных типов сооружений, выполняют роль композиционных инвариантов, в пределах которых развертываются вариации построений.
• Зеркальная симметрия — классическая симметрия левого и правого, когда одна половина формы является как бы зеркальным отражением другой, наиболее распространена в архитектуре. Воображаемая плоскость, делящая форму на две равные части/ т. е. плоскость симметрии, в произведениях архитектуры, как правило, вертикальна. Однако часто архитекторы используют nt>-»- когда плоскостью зеркального ния служит горизонтальная плоское-* отражающая поверхность воды.
-
Центрально-осевая симметрия — симметрия относительно центральной вертикальной оси, линии пересечения двух или большего числа вертикальных плоскостей симметрии. Сооружение при этом состоит из равных частей, которые совмещаются при повороте вокруг вертикальной оси, на плане совпадающей с геометрическим центром композиции. Порядок оси — число совмещений одинаковых элементов при полном обороте. Квадрат имеет четвертную ось, шестиугольник — шестерную, восьмиугольник — восьмерную и т. д. Окружность имеет ось симметрии бесконечного порядка. Упорядочение архитектурных композиций с помощью равномерной трансляции вокруг оси отдельного элемента — один из самых распространенных профессиональных приемов.
Динамику вращения наблюдаем в архитектуре павильона СССР на выставке в Париже (архит. К. Мельников), Олимпийского комплекса в Токио (архит. К. Танге), общественного здания на Пензойл-плейс в Хьюстоне (архит. Ф. Джонсон) и т. д.
-
Переносная симметрия — простейшее преобразование, приводящее к бесконечным фигурам,— перенос элемента вдоль прямой на отрезок конечной длины. Направляющая называется осью переносов, интервалы — периодами -рансляции I. Полученная фигура в специальной литературе обозначается термином «бордюр». Причем если вдоль оси переносится несимметричный элемент, то говорят о полярности оси. Это означает, что свойстза линейного орнамента (бордюра) в од-ом направлении иные, чем в обратном. Тем самым в зависимости от рисунка переносимой фигуры подчеркивается поступательное движение в одном направлении
Кроме оси переносов для этого вида симметрии характерен eiue один элемент, усложняющий операцию переноса. Это плоскость скользящего отоажения. Преобразование состоит в <ом, что фигура приходит в совмещение сама с собой после последовательно про -звеленных переноса на расстояние 1/2 и отражения в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа,
63
при этом след плоскости отражения совпадает с основной осью трансляций. Взятые отдепьно перенос и отражение в плоскости не приводят фигуру в совмещение с ней самой и не являются порознь операциями симметрии, поэтому необходимо проводить эти операции одну за другой. Порядок выполнения не имеет значения. Двукратное повторение операции скользящего отражения эквивалентно операции переноса фи- другу форм. В зависимости от периода трансляций и формы перемещаемого элемента можно судить о симметрии члененной поверхности или объема. • Симметрия сетчатых орнаментов плотных упаковок. Однородные, состоящие из одинаковых элементов структуры, как объемные, 1ак и плоскостные, для описания и анализа требуют привлечения понятия симметрии сетчатых орнаментов и плотных >паковок. Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелограммов. В более сложных случаях всегда можно обнаружить сетку, узлы которой составляют систему эквивалентных точек рисунка (плана, фасада и т. д.), причем пюбая точка рисунка может быть принята за начальную при построении такой сетки.
Плоская сетка имеет две непараллельные оси переносов. Одной и той же сис- дой вершине которой пересекаются три направляющие, имеет шестерные вертикальные оси в узлах.
Существует только пять параллелограмматических систем точек, отличающихся друг от друга по симметрии и параметрам ячеек: квадратная, прямоугольная, правильная треугольная, ромбическая, косая параллелограмматическая. На основе непрямоугольных сеток получаются доста
гуры вдоль оси переносов на отрезок Преобразования с осью переносов и плоскостью скользящего отражения делают поступательное движение волнообразным.
архитектуре переносная симметрия опознается в разнообразных ри-мах: пластических, орнаментальных, пространственных. Ритм может быть вь.раже-> в непрерывном изменении едино-- формы, например а меняющейся кривизне юверхиос- тей, образованных спиралью и кривыми конических сечений (парабола, гипербола, эллипс, кроме окружности с ее гостоаиной кривизной). Ритмический ряд может быть прерывным, с интервалами или непрерывным, состоящим из прим» чаю_-1 друг к
6-1