3. Симметрия подобия.

В соответствии с характером преобразований фигур различают изометри­ческие (ортогональные) и неизометрические (аффинные, проективные и т. д.) группы симметрии.

Изометрические - группы вращений, отражений,параллельных переносов, - сохраняют метрические свойства исходных фигур. К ним относятся все, рассмот­ренные выше группы симметрии. Изометрические преобразования бесконечных фигур иначе называются «движениями».

Аффинныё группы состоят из совокупностей однородных деформаций -рас­тяжений, сжатий, сдвигов, допускаемых бесконечными фигурами. Отказ от сохра­нения метрики исследуемых объектов при соответствующих преобразованиях расширяет возможности применения симметрии в научных исследованиях и худо­жественном творчестве.

Группы преобразований подобия являются частным случаем аффинных групп. Элементы последовательного ряда подобных фигур согласуются между со­бой пропорциональной зависимостью. Они могут быть связаны арифметиче­ской геометрической или гармонической пропорцией (рис. 5).

3. Винт. Спираль.

Эти группы симметрии относятся к редко применяемым в архитектуре.Фигу­ра обладает винтовой осью симметрии, если она приходит в совмещение сама с собой после произведенных последовательно двух операций: поворота на угол а и переноса на расстояние равное 1 вдоль оси поворота. Если угол а ра­вен 360°/п, то винтовую ось называют осью порядка nl. Так как закручивание мож­но производить как вправо, так и влево, то различают винтовые оси правые и левые.

с

Спираль представляет собой геометрическое место точек, которые удовле­творяют единому правилу построения, как например архимедовой спирали г =аср.

Таким образом существует семь основных групп симметрии. Комбиниро­вание числа осей симметрии и другие преобразования позволяют получить на ба­зе этих групп 230 возможных типов точечных решеток, делящих пространство на однородные элементы.

4. Общее определение асимметрии, дисимметрии и антисимметрии.

При тщательном анализе естественных (природных) и исксственных объектов выясняется, что абсолютная симметрия не возможна. «Симметрия состоит из асимметрий и дисимметрий и определяется через них» (А.В.Шубников)

Дисимметрия - это нюансное отклонение от симметрии, проявляющееся в деталях или их расположении в объемно-пространственной форме. Пьеру Кюри принадлежит знаменитая фраза: «Дисимметрия творит явление ... Необходимо, чтобы некоторые элементы симметрии отсутствовали».

Асимметрия - с точки зрения математики - лишь отсутствие симметрии. Асимметричная форма может складываться из симметричных элементов, связи между которыми устанавливаются при помощи других средств композиции, напри­мер - равновесия.

Сбалансированная асимметрия стала главным принципом современной архитектуры. Огюст Шуази писал по этому поводу: «каждый архитектурный мотив, взятый в отдельности, симметричен, но группировка сооружений рассматривается как пейзаж с уравновешенными массами. Так действует и прироа - листья де­ревьев симметричны, а дерево представляет собой уравновешенную массу».

Антисимметрия - это симметрия с полярными или контрастными свойст­вами. Если одну половину квадрата выкрасить в черный цвет, а другую оставить белой, то мы получим антисимметричную форму; в том же отношении по видимо­му находятся два куба, один из которых представлен только рёбрами.

Литература :

1. Шубникор А.В., Копцик В.А. «Симметрия в науке и искусстве» М., 1972 г.

2. Вейль Г. «Симметрия», М., 1968 г.

3. Смолина Н.И. «Традиции симметрии в архитектуре», М., 1990 г.

кая закономерность

как особый род ^леской закономерности

Рис. 1

Квадрат построен геометрически закономерно, так как он может быть разделен без остатка на восемь равных частей

Рис. 2

Архимедова спираль обладает правильностью строения, так как представляет собой геомет­рическое место точек, равных друг другу в том смысле, что все они удовлетворяют одному уравнению г » а<р

■Слева — две совместимо рав­ные фигуры, справа — две вер- асально равные фигуры

Р и с. 5

m

В симметричной фигуре, кроме геометрического равенства час­тей (а), необходимо и одина­ковое их расположение (б)

О

ООО О О О О О О О О О О О О О О О

в о

• • * » • •

• * • • • • •

• * t

Рис. 3

Узлы квадратной сетки (а> образуют правильную фигуру* так как каждый из них занимает одинаковое положение среди дру­гих узлов. Система точек, рас­положенных беспорядочно, но- с одной и той же средней плот­ностью (б), есть правильная фигура, так как ее можно раз­делить без остатка на участки,, содержащие приблизительно а одно и то же число частиц

/

■гп г\ .га „я.

f сигал. шшиг

]
•I А...
	г	:.

В lap

V 111 U II г

	с®/

(0		щ
ш N ;		р;

	7i"•

Ч

h-

о о о о о о

/I

га

А

_ п

вжзов симметрии бордюров

Проекции элементов симметрии бордюров на картинную пло­скость

п

U

6 7

Тонкие горизонтальные линии обозначают оси переносов а • штриховые линии — плоскости скользящего отражения горизонтальные толстые ли­нии — обыкновенные плоскос­ти т, проходящие перпенди­кулярно к чертежу. Вертикаль­ные отрезки прямых изображают следы поперечных плоскостей симметрии; маленькие черные двуугольники — перпендику­лярные к чертежу оси второго порядка. Двоеточие в символах означает перпендикулярность» одна точка — параллельность. Сопоставление бескоординат­ных с международными обозна­чениями видов симметрии бор­дюров см. на стр. 1G0

• (а)-а

• (а): 2 • Т

  (а): 2-т

  (a).m

(a):m

[а):2

I——+—-+-

МММ

Бордюры с «ЖО* ММ асре- иоеов. Савки «апуп (■) П«риалы аермюом г *eti го>

1»1оитмыш1 Oopaupur р«»- МИ

Корлюри с пгяшн порога в«- pajM, шерагндякуяяряыдо ■ ■жили ««pTf»«. Сними сим ■стрми (•): ж

Ляогточвс • формул* п«ШЯЧве». что ось orpcmicna я перпеии*- ктлярия к оси I

.ГЕтШЕХНГЕШгП

/

*' "У'уГ"

■ («lilai

StHBfU я азяо» mnimifo отрввлиш Комбмаромто* еяоа врооДроом— Ф*ТР состоят « и аермое» ы отрг- к>* я/1 ■ яоематвяим ятря- ■гяп ■ вяосяостя. Сшил м- а«|рм — (■!•. Тим ■ См- яоля мишт, что алоеяовть • u|njiMBrr черяя orь I

Калейдоскопы для образовании бордюров

Г * I. к

Цирлмры а мамотрмв («)•« Ось • ияраллмьн* rui^H.cn ■

. Bum pi '—»— им»-

.'ИИМЯТрВВ. СЯМ1

йм • вяришавт-

оеноег» ■

а — два параллельных зерка­ла служат дли образовании • бордюров вида (а) : т; б — три зеркала, расположенных буквой П, служат для образо­вания бордюров с симметрией (а) : 8 т

	V
БордтрысевмватрмНЬ(•) j9-Мм .	J С * У '
т <■)•«• I т	^r^j^Q U п

V	ч	/
л	л	\

Ь

Ш1 Ml

Пять параллелограмматических систем точек

а — квадратная система узлов с симметрией (а : а) : 4-т\ б — правильная треугольная система узлов с симметрией (а/а) : 6'in; в — прямоуголь­ная система узлов с симметрией (Ь : а) : 2»т\ г — ромбическая систсма узлов с симметрией (а/а) : 2>т или (с/b : а) : 2»т\ в — косая параллелограмма- тическая система узлов с сим­метрией (b/а) : 2. Приводятся символы максимально высо­кой пространственной симмет­рии, совместимой с существо­ванием параллелограмм этиче­ских сеток

Семнадцать видов симметрии сетчатых орнаментов,

^ ^ ^ ^ ^

Одной и той же системе увлов отвечает бесконечное множество сеток в зависимости от спосо­бов соединения узлов

Ьь .

Г^Г'ЧГ'^Г^Г'

Построение плоской сетки с помощью осей переносов а и Ь

Г"			Ш.Г b^r ^r
	J"4	www
ha.
W	■ч	www	A^
			^r
Ьь.	J ^	www

^ ^ А

L Л

* 1Г

if ^ \

J^SftlA

мш

Плоский орнамент с симмст- Правильные системы асимметричных фигур (треугольников), соот- риеЙ (Ь/а) 1 ветствующие 17 видам симметрии плоских орнаментов (по Бюргеру)

liinmriiM адосвости а глри

Зааплмсваа алиевветв в елг*— савмстрма («'«)•■•'

Оряавсвт а шаи|»К1

(а/а) f V-м

Фвгуры аааолнлвт ввоскость tri промежутков в верекрмтвв

Орцаагат е сии— Ipwii (in)iai Сипи фагурм ипмают плоскость йтг иротярим a Mpexpuiil

Заамапм иллевосгн a u|Wl nurtpaa (« a|:»'l Для соаиевмваа с уставом»! рас. КЗ треугоаьаро сапу ммуп повернуть аа М* вок­руг оса I

Оравши г с сиич Г|и1

(в/а) аа - |г » : а) « ва Раввы* фагура> laaoiaaarr адос-

кость бс> прочел у 1 ввв а агрг- врктвй

Opaaaiai г еввигтрпе* |t а)>а • — оЛвш» случая^-. Й - ||д| - вме фагурм аапияаяыт алог-

вость Два аромпвушо* в нерс- ВрММ>

mm

Плоскость |щ»ц равамаа Nrjiaa Sea apgaaij iaaa a вере«р«егм|. DamaiiH»»

apaaaiaiB е(,<миш Знании н»р>1 canumi porntot сгоаанвжеа a ataol aapaaaa

Зиингние (иогкистя в rjj-чм еввветрии |>.<): J Элементарная ячейка обрам* аама oOMiaaruta uyi пра­ва льны i треугольников

Oguwnn с смавгтраа* <» : а):

I Г: Г->(»: •) |« 9 _а

Плоскость ММ.1Ш1 рааимив фагураня (ц оромигутаоа "

перекрытЩ

1иштм «инчч (а вро- fMji mi в иг рмуцш! ■ ujw синий* 1« «1

Четырнадцать решеток Брав»

Если допустить ^сферическую симметрию узлов, то простран­ственными¹ группами 14 реше­ток Бравэ будут: i — Pi\ г — Р2/т; J — С2/т\ 4 — Рттт\ 5 — Cmmm; 6 — Immm; 7 — Fmmm; 8 — P6/mmm; 9 — R3m; 10 — P4/mmm; 11 — I 4/mmm; 12 — Pm3m\ 13 — Imfm\ 14 — Fm3m.

А		1
	с	г.
С-К		V-

Ж

b

6

\ 1 \ /.

a t

X

i 4

V

a

11

a

12

14

13

Прописные буквы обозначают трансляционные группы: Р, R — примитивных решеток; С — решеток, центрированных по грани, секущей ребро с; F — гранецентрир о ванных реше­ток; I — объемоцентрированных решеток. Метрические парамет­ры решеток: 1 — триклинной: о^Мс, аФ £ ФУ, 2, з — моноклинных: а ф ЪФ с, а ф У = 90° ф & ф 60°; i—7 — ромбических: а^Ьфс, а = у — 90^е; 8 — гексагональной: а =^х_кЬ Ф с, а =.0 = 90°, V — 120®; 9 — тригональной (ромбоэдрической): а = b = с, а = ^ — У ф 90°; 10, 11 — тетрагональных: а = b Ф c_t а = р = Y = 90^е; 12—14 — кубических: а — Ь = с, а = р = V = 90°

Семь калейдоскопов для обра­зования дисконтинуумов наи­высшей симметрии

во

ои

/во*\

Деление тетраэдра четырьмя рядами па* раллельных плоскостей

Каждая из семи комбинаций зеркальных плоскостей порож­дает единственную простран­ственную группу: 1 — Рттт, 2 — Р4/ттт, 3 — рЪт2, 4 — Рб/ттт, 5 — РтЪт, 6 — F4Jm, 7 — Fm3m. Обозначения пространственных групп поясняются на рис. 191, в табл. 12 и в тексте

HUD

Традиционно симметрия в архитектуре понимается лишь как своеобразная геомет­рическая закономерность. С привлечением одного из основных значений общенауч-г ного понятия симметрии: представления о симметрии как форме любой закономер­ности — структурной, смысловой, абстракт­ной и г. д. — понятие архитектурной сим­метрии приобретает новые значения и может наряду с традиционным представ­лением о симметрии объекта созерцания или творчества включать представление о симметрии как особенности мышления, как свойства человека, воспринимающего или создающего симметричную форму.

62

Попытаемся в общи* чертах наметить представление о симметрии а архитектуре как некую единую понятийную конструк­цию. Речь идет о понятии, которое охва­тывает совокупность многих значений, смыслов, отношений — особой схеме зна­ния в границах существования самого по­нятия в профессии.

Профессиональнее осмысление понятия симметрии заключается, на наш взгляд, а своеобразном толковании специальных терминов и смыслов в категориях архи­тектуры, Трудность, однако, состоит именно в универсальности (по определению) сим­метрии: приложимости ее идей к интерпре­тации всякого рода закономерностей, лю­бого порядка — конкретных фактов, отвле­ченных идей, сюжетных аналогий и т. п. Наблюдение закономерностей симметрии в профессиональном мышлении, традициях творчества расширяет традиционно сложив­шееся понимание симметрии за счет ее не­геометрических толкований.

В дальнейшем изложении будут рас­смотрены три аспекте — три формы «су­ществования» симметрии в архитектуре. Первый аспект мы назвали «геометричес­ким». Здесь симметрия предстает объектив­ной структурной закономерностью, прису­щей сооружению. Второй аспект — «социо­культурный и. Эта негеометрическая сущ­ность симметрии охватывает субъективные и объективные закономерности в профес­сиональном творчестве как инвариантные культурные смыслы, оформляющие прин­ципы композиционного мышления. Третий аспект — «инструментальный» — предс­тавляет симметрию чак широко понимае­мый процесс, способ упорядочения: прие­мы проектной графики, мыслительные схе­мы, системное рассмотрение проектной за­дачи и т. п.

Для уяснения единства этих аспектов, думается, уместна аналогия архитектурной симметрии с языком как системой знаков, способом осуществления профессиональ­ного сознания . При этом наглядные эле­менты геометрической симметрии соотно­сятся со словарем как «палитрой» графи-

«Язык — системе зна- эв, служащая средством человеческого об;деии>, мышления и выраже­ния» (Философская энциклопедия.— М„ 1970-—^ Т. 5.— С. 604).

ческих и конструктивных возможностей симметрии. В «геометрическом» аспекте нашей системы понятия предполагается описание этого словаря, изобразительной функции симметрии в структуре архитек­турной формы. Значением и смыслом на­глядных образов симметрии ведает иная, негеометрическая сущность симметрии, ко­торая раскрывает отношения изображения к изображаемому, т. е. соответствие зри­мых закономерностей структурам мысли­тельным. Эта символическая функция сим­метрии раскрывает семантику, социокуль­турное содержание привычных приемов построения и профессиональных «умствен­ных привычек» композиционного мышле­ния.

Символическая функция симметрии рас­сматривается в «социокультурном» аспекте. И, наконец, симметрия — процесс как сред­ство осуществления профессионального сознания — орудие композиционного мыш­ления соотносится с речью и как сред­ство графического оформления архитек­турной мысли — с синтаксисом. «Рече­вая», разговорная функция симметрии рас­сматривается в «инструментальном» аспек­те. Эти разноплановые слои наших пред­ставлений о симметрии имеют единую гео­метрическую основу в архитектурном про­изведении.

Условно выделенные позиции, конечно, не исчерпывают всего смыслового мно­гообразия архитектурной симметрии, но для начала могут служить узлами общей структуры понятия как мыслительной схе­мы. Наша цель — построение некой сис­темы, канвы для обобщения разрозненных представлений.

Геометрический аспект. Различают нес­колько видов симметрии в архитектурной композиции, которые, будучи общими для отдельных типов сооружений, выполняют роль композиционных инвариантов, в пре­делах которых развертываются вариации построений.

• Зеркальная симметрия — классическая симметрия левого и правого, когда одна по­ловина формы является как бы зеркальным отражением другой, наиболее распростра­нена в архитектуре. Воображаемая плос­кость, делящая форму на две равные части/ т. е. плоскость симметрии, в произведениях архитектуры, как правило, вертикальна. Од­нако часто архитекторы используют nt>-»- когда плоскостью зеркального ния служит горизонтальная плоское-* отражающая поверхность воды.

• Центрально-осевая симметрия — сим­метрия относительно центральной верти­кальной оси, линии пересечения двух или большего числа вертикальных плоскостей симметрии. Сооружение при этом состоит из равных частей, которые совмещаются при повороте вокруг вертикальной оси, на плане совпадающей с геометрическим центром композиции. Порядок оси — число совме­щений одинаковых элементов при полном обороте. Квадрат имеет четвертную ось, шестиугольник — шестерную, восьмиуголь­ник — восьмерную и т. д. Окружность имеет ось симметрии бесконечного поряд­ка. Упорядочение архитектурных компози­ций с помощью равномерной трансляции вокруг оси отдельного элемента — один из самых распространенных профессиональ­ных приемов.

Динамику вращения наблюдаем в ар­хитектуре павильона СССР на выставке в Париже (архит. К. Мельников), Олимпий­ского комплекса в Токио (архит. К. Танге), общественного здания на Пензойл-плейс в Хьюстоне (архит. Ф. Джонсон) и т. д.

• Переносная симметрия — простейшее преобразование, приводящее к бесконеч­ным фигурам,— перенос элемента вдоль прямой на отрезок конечной длины. На­правляющая называется осью переносов, интервалы — периодами -рансляции I. По­лученная фигура в специальной литературе обозначается термином «бордюр». Причем если вдоль оси переносится несимметрич­ный элемент, то говорят о полярности оси. Это означает, что свойстза линейного ор­намента (бордюра) в од-ом направлении иные, чем в обратном. Тем самым в зави­симости от рисунка переносимой фигуры подчеркивается поступательное движение в одном направлении

Кроме оси переносов для этого вида симметрии характерен eiue один элемент, усложняющий операцию переноса. Это плоскость скользящего отоажения. Преоб­разование состоит в <ом, что фигура при­ходит в совмещение сама с собой после последовательно про -звеленных переноса на расстояние 1/2 и отражения в плоскос­ти, перпендикулярной плоскости чертежа,

63

при этом след плоскости отражения совпа­дает с основной осью трансляций. Взятые отдепьно перенос и отражение в плоскости не приводят фигуру в совмещение с ней самой и не являются порознь операциями симметрии, поэтому необходимо прово­дить эти операции одну за другой. Порядок выполнения не имеет значения. Двукратное повторение операции скользящего отраже­ния эквивалентно операции переноса фи- другу форм. В зависимости от периода трансляций и формы перемещаемого эле­мента можно судить о симметрии чле­ненной поверхности или объема. • Симметрия сетчатых орнаментов плот­ных упаковок. Однородные, состоящие из одинаковых элементов структуры, как объ­емные, 1ак и плоскостные, для описания и анализа требуют привлечения понятия симметрии сетчатых орнаментов и плотных >паковок. Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелог­раммов. В более сложных случаях всегда можно обнаружить сетку, узлы которой составляют систему эквивалентных точек рисунка (плана, фасада и т. д.), причем пюбая точка рисунка может быть принята за начальную при построении такой сетки.

Плоская сетка имеет две непараллель­ные оси переносов. Одной и той же сис- дой вершине которой пересекаются три направляющие, имеет шестерные верти­кальные оси в узлах.

Существует только пять параллелограм­матических систем точек, отличающихся друг от друга по симметрии и парамет­рам ячеек: квадратная, прямоугольная, правильная треугольная, ромбическая, ко­сая параллелограмматическая. На основе непрямоугольных сеток получаются доста­

гуры вдоль оси переносов на отрезок Преобразования с осью переносов и плос­костью скользящего отражения делают поступательное движение волнообраз­ным.

архитектуре переносная симметрия опознается в разнообразных ри-мах: плас­тических, орнаментальных, пространствен­ных. Ритм может быть вь.раже-> в непре­рывном изменении едино-- формы, напри­мер а меняющейся кривизне юверхиос- тей, образованных спиралью и кривыми ко­нических сечений (парабола, гипербола, эл­липс, кроме окружности с ее гостоаиной кривизной). Ритмический ряд может быть прерывным, с интервалами или непрерыв­ным, состоящим из прим» чаю_-1 друг к

6-1