Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ОПК. Лекция 6. Ритм.doc
Скачиваний:
56
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
4.63 Mб
Скачать

2. Понятия относительного равенства и геометрической закономерности. Симмет­рия как особый вид геометрической закономерности.

В природе нет и не может быть абсолютного равенства двух разобщенных в пространстве или времени предметов. В реальном или относительном равен­стве требуется указание критерия, или лучше сказать меры равенства. За терми­ном «относительное равенство» закрепляется конкретный смысл равенства в отношении данного признака (или их совокупности).

Два предмета называются равными в отношении того или иного призна­ка, если оба предмета обладают этим признаком. Вершины квадрата равны друг другу в том смысле, что в каждой из них сходятся по два ребра, образующих прямые углы, но они не равны друг другу в смысле различной их ориентировки в пространстве. Грани куба, выкрашенные в разные цвета, равны друг другу геоме­трически, но не равны по окраске. Понятие относительного равенства предметов имеет принципиальное значение для всего учения о симметрии.

Второе понятие, лежащее в основе симметрии, - это понятие о геометри­ческой закономерности. Вещь построена геометрически закономерно или пра­вильно, если её можно разделить без остатка на равные части относительно некоторого геометрического признака. Квадрат построен геометрически законо­мерно, так как он может быть разделен без остатка на равные части - восемь гео­метрически равных прямоугольных треугольника. Архимедова спираль представ­ляет собой геометрически правильно построенную фигуру, так как она состоит из бесконечного числа точек удовлетворяющих уравнению: г = af. Таким образом, точки спирали равны друг другу в том смысле, что для каждой из них отношение r/f имеет одно и то же значение а. Дан равнобедренный треугольник разделен­ный на две части медианой угла между равнымисторонами. Обе части треуголь­ника выкрашены в разные цвета. При физическом различии частей, фигура в це­лом построена геометрически правильно, так как она состоит из двух частей, рав­ных друг другу по геометрическим признакам (зеркальное равенство).

Определения:

Симметричным называется такой предмет, который состоит из геоме­трически и физически равных частей, должным образом расположенных отно­сительно друг друга; такое расположение требует, чтобы упорядоченность была в определенном смысле одинаковой для всех частей. Под геометрическим равенством в данном случае подразумевается либо совместимое равенство (кон­груэнтность), либо зеркальное равенство.

С позиций нашей дисциплины это определение может быть модифицирова­но следующим образом:

Симметрией мы будем называть закономерное расположение равных частей объемно-пространственной формы относительно друг друга; при этом под равными подразумеваются как совместимо, так и зеркально равные части.

Закономерность расположения частей симметричных фигур заключается в том, что они могут обмениваться местами и совмещаться между собой с помощью операций симметрических преобразований Странсформаций). Основными прео­бразованиями являются отражение, поворот и перенос.

Простое, но исчерпывающее определение симметрии геометрических фи­гур в трехмерном пространстве дал академик А. В.Шубников:

«Симметричной называется всякая (конечная или бесконечная) фигура, которая может совмещаться сама с собой в результате одного или несколь-

О

J

ких последовательно произведенных отражений в плоскостях».

Элементом симметрии называется геометрическое место точек, сохраня­ющееся неподвижным при всех преобразованиях (точки, оси и плоскости).

Вид симметрии опреденляется полной совокупностью элементов симметрии.

3.Группы симметричных преобразований фигур и виды симметрии. 3.1. Зеркальная симметрия.

Классическая симметрия «левого-правого», когда одна половина формы является как бы зеркальным отражением другой. Воображаемая плоскость, кото­рая делит такие фигуры на две зеркально разные части называется плоскостью симметрии.Этот элемент симметрии обозначается латинской литерой m от ан­глийского слова mirror (зеркало). Плоскость зеркального отражения может быть как вертикальной так и горизонтальной, (рис.!).

3.2 Центрально - осевая симметрия (осевая, симметрия вращения).

Симметрия относительно центральной вертикальной оси, образованной пересечением двух или большего числа вертикальных плоскостей симметрии, при полном обороте вокруг которой (360°) форма несколько раз совмещается сама с собой. Число таких совмещений определяет порядок оси симметрии, которая обозначается латинской литерой - п. Квадрат имеет четвертную ось, шестиуголь­ник - шестерную, пятилучевая звезда - пятерную, (рис. 2).

  1. Переносная (трансляционная) симметрия. Симметрия бордюров.

Простейшее преобразование, приводящее к бесконечным фигурам, — перенос элемента вдоль прямой на отрезок конечной длины - а. Направляющая называется осью переносов, интервалы - периодами трансляции. Полученная фигура в специальной литературе обозначается термином «бордюр».

Если вдоль оси переносится несимметричный элемент, то говорят о полярности оси, это означает, что свойства линейного орнамента (бордюра) в одном направлении иные, чем в обратном. Тем самым подчеркивается поступательное движение элемента в одном направлении.

Кроме оси переносов для этого вида симметрии характерен еще один элемент, усложняющий операцию переноса. Это - плоскость скользящего отражения. Преобразование состоит в том, что фигура приходит в совмещение сама с собой после последовательно произведенных переноса на расстояние 1/2 а и отражение в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа; при -этом след плоскости отражения совпадает с основной плоскостью трансляции.Эти операции проводятся одна за другой. Двукратное повторение операции скользящего отражения эквивалентно операции переноса фигуры вдоль оси переносов на отрезок равный 1.

Преобразования с осью переносов и плоскостью скользящего отражения делают поступательное движение волнообразным. В зависимости от периода трансляции и формы перемещаемого элемента можно судить о симметрии члененной поверхности или объема, (рис.3)

  1. Симметрия сетчатых орнаментов и плотных упаковок. «Паркеты».

Этот вид симметрии привлекается для описания и анализа однородных, состоящих из одинаковых элементов структур, как объемных так и плоскостных. Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелограммов. Плоская сетка имеет две непараллельные оси переносов или точнее «плоская сетка представляет собой такое разбиение плана на конечные

Цветки, которое кроме тождественного преобразования допускает еще два неколленеарных автоморфизма сдвига». Одной и той же системе узлов отвечает бесконечное множество сеток в зависимости от способов соединения узлов.

V всех систем точек кроме осей переносов содержатся и другие элементы симметрии. Например правильная треугольная сетка, в каждой вершине которой пересекаются три направляющие, имеет шестерные вертикальные оси в узлах.

Существует только пять параллелограмматических систем точек, отличаю- щихся друг от друга по симметрии и параметрам ячеек:

  • квадратная система узлов ( а : а): 4т

  • правильная треугольная система узлов (а /а): 6т

  • ромбическая система узлов ( а /а): 2т

  • прямоугольная система узлов ( b : а): 2т

  • косая параллелограмматическая система узлов ( b /а): 2

На основе непрямоугольных сеток получаются достаточно выразительные системы расчленения поверхностей.

В случае трехмерного пространства можно выделить уже не пять систем то- ек, а 14 бесконечных Фигур.называемых решетками Бравэ. Аналогично плоским сеткам пространственные решетки Бравэ представляют собой систему равных параллелепипедов, смежных по целым граням и заполняющих пространство без пропусков и перекрытий, или систему точек -узлов решетки - состоящую только из вершин этих параллелепипедов.

Всякого рода расчленения на элементы в современном проектировании и производстве настолько очевидны, что восприятие архитектуных объектов, основанное на принципе более или менее четкой решетки {регулярность), становится наиболее адекватным. ( рис.4 )