I уровень

1.1. Найдите критические точки функции:

1) 2)

3) 4)

1.2. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

1) 2)

3) 4)

1.3. Исследуйте функцию на локальный и глобальный экстремумы:

1) 2)

3) 4)

1.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) 2)

3) 4)

1.5. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции:

1) 2)

3) 4)

II уровень

2.1. Вычислите сумму наибольшего и наименьшего значений функции:

1) 2)

3) 4)

2.2. Найдите длину промежутков убывания функции:

1) 2)

3) 4)

2.3. Найдите наибольшее целое число из промежутка убывания функции:

1) 2)

2.4. Найдите глобальный экстремум функции на отрезке:

1) 2)

3) 4)

2.5. Найдите интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба графика функции:

1) 2)

3) 4)

2.6. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

2.7. Из всех ваз, одинаковой вместимости и имеющих форму усеченного конуса, в котором образующая составляет с основанием угол найдите ту, у которой полная поверхность минимальна.

2.8. Определите, каково должно быть соотношение размеров консервной банки цилиндрической формы с заданной поверхностью, чтобы она имела наибольшую вместимость.

2.9. В равнобедренный треугольник с длинами сторон 15, 15 и 18 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при основании у них общий. Найдите стороны параллелограмма.

2.10. Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединенных резисторов. Определите, при каком соотношении между сопротивлениями этих резисторов сопротивление цепи минимально, если при последовательном соединении оно равно R Ом.

2.11. Пусть исоответственно точка минимума и точка максимума функцииНайдите все значения параметраа, при которых

2.12. Определите, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции на отрезкеявляется наибольшим.

III уровень

3.1. Определите, при каких значениях параметра а кривая выпукла вниз всюду на области определения.

3.2. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1) 2)3)

3.3. Определите, каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника, вписанного в данный круг, чтобы его периметр был наибольшим.

3.4. Найдите число, куб которого превышает утроенный его квадрат, но имеет минимальное значение.

3.5. Найдите положительное число, сумма которого со своей обратной величиной имеет наименьшее значение.

3.6. Найдите расстояние от точки М(2; – 4) до прямой

3.7. Найдите расстояние между параболой и прямой

3.8. Пусть исоответственно точка минимума и точка максимума функцииНайдите все значения параметраа, при которых

3.9. Определите, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции на отрезкеявляется наибольшим.

3.10. Определите, при каком значении параметра а из промежутка площадь фигуры, ограниченной касательной к графику функциис абсциссойа в точке касания, осью абсцисс и прямыми ибудет наименьшей. Найдите эту площадь.

3.11. Определите, при каком наибольшем значении параметра а уравнение имеет решение.

224