I уровень

1.1. Вычислите дифференциал функции в точкепри заданном значении

1) 2)

3) 4)

1.2. Найдите главную часть приращения функциив точке

1) 2)

3) 4)

5) 6)

1.3. Вычислите дифференциал функции:

1) 2)

3) 4)

1.4. Вычислите приближенно с помощью дифференциала значение функции в точкеx:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

II уровень

2.1. Вычислите дифференциал функции в точкеесли аргумент изменяется отдо

1)

2)

3)

4)

5)

6)

2.2. Вычислите дифференциал функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

2.3. Проверьте, удовлетворяет ли функция заданному уравнению:

1)

2)

3)

4)

2.4. Вычислите с помощью дифференциала приближенное значение выражения:

1) 2)3)

4) 5)6)

2.5. Даны два тетраэдра, ребра которых равны соответственно 4 и 4,21. Определите, на сколько объем первого тетраэдра меньше объема второго.

2.6. Определите, на сколько увеличится при нагревании объем куба, ребро которого равно 10 см, если удлинение ребра куба равно 0,03 см.

2.7. Сторона квадратного листа жести, равная 15 см, после охлаждения уменьшилась на 0,001 см. Вычислите приближенно, на сколько изменилась площадь этого листа.

III уровень

3.1. Докажите, что функция заданная в неявном виде уравнениемудовлетворяет уравнению:

1) если

2) если

3) если

3.2. Вычислите приближенно значение выражения:

1) 2)

3.3. Боковую поверхность стального конуса с диаметром основания 20 см и высотой 10 см отшлифовали, после чего диаметр стал равен 19,95 см. Определите, на сколько приблизительно изменилась масса конуса, если плотность стали равна 7,80 г/см³.

17.4. Производные и дифференциалы высшего

порядка

Производная определенная на некотором множествеявляется также функцией отx. В случае ее дифференцируемости можно вычислить ее производную. Производная от производной называетсяпроизводной второго порядка:

Аналогично

Начиная с четвертого, порядок производной обозначают в скобках (сверху): Производные порядка 1–3 также обозначаютПо определениюВ случае дифференцируемости производнойпроизводная порядкаn определяется равенством

(17.12)

Для производных высшего порядка справедливо свойство линейности:

где – произвольные действительные числа;f(x), g(x) – n раз дифференцируемые функции,

Если f(x) и g(x) – n раз дифференцируемые функции, то вернаформула Лейбница:

(17.13)

где – биномиальные коэффициенты:

Коэффициенты можно найти также из треугольника Паскаля.

Если функция у(х) задана в неявном виде уравнением то для нахождения производной второго порядка (в случае ее существования) надо продифференцировать найденную первую производную по аргументуx, продолжая рассматривать y как функцию от x. Затем вместо надо подставить найденное ранее значение.

Если функция задана параметрически в виде

то находят вначале производную 1-го порядка по формуле (17.6) и записывают:

(17.14)

Для нахождения производной второго порядка используют формулу (17.6) к параметрически заданной функции (17.14):

Аналогично реализуют тот же подход при нахождении производной и т. д.

Дифференциал от дифференциала функции f в точке x (если функция определена и дважды дифференцируема) называется дифференциалом второго порядка:

Дифференциал n-го порядка функции f(x) (в случае дифференцируемости n раз, ) определяют как дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка:

Для вычисления дифференциала порядка n используют формулу

(17.15)

Дифференциалы второго и выше порядков не обладают (в отличие от дифференциалов первого порядка) свойством инвариантности, т. е. их форма, а следовательно, и способ вычисления зависят от того, является ли аргумент x независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной.

Пример 1. Вычислить для функции:

1) 2)

Решение. 1) Вычислим искомую производную последовательно, не применяя формулу Лейбница:

2) Искомую производную удобно найти, используя формулу Лейбница (17.13). Для производной 4-го порядка формула Лейбница примет вид:

Функцию представим в видеВведем обозначения:Для функцииf(х) найдем производные:

Аналогично для функции g(x) найдем производные:

Полученные выражения подставим в формулу Лейбница:

Упрощая это выражение, окончательно получим:

Пример 2. Для функции найти формулу производнойn-го порядка, если:

1) 2)

Решение. 1) Вычислим производную 1-го порядка:

Далее

Установив закономерность, запишем формулу для производной n-го порядка:

Докажем справедливость этой формулы методом математической индукции.

При имеемчто совпадает с найденной ранее производнойПредположим, что наша формула верна прит. е.

Докажем, что она верна и для Вычислим:

Получили, что равенство выполняется при По методу математической индукции формула будет верна для любого

2) Вычисляем последовательно:

Приходим к заключению, что

Справедливость этой формулы доказывается методом математической индукции.

Пример 3. Для функции, заданной уравнением найти производную второго порядка.

Решение. Функция задана в неявном виде. Дифференцируем обе части равенства рассматриваяy как функцию переменной x:

(17.16)

Выражая из равенства (17.16), получим:

(17.17)

Продолжаем дифференцировать по переменной x равенство (17.16):

Из последнего равенства выражаем

Подставим в эту формулу найденное выражение (17.17) для получим:

После упрощения приходим к ответу:

Пример 4. Вычислить если

Решение. По формуле (17.6) получаем

Имеем:

Для нахождения производной второго порядка снова используем формулу (17.6):

Результат может быть записан в виде

(17.18)

Дифференцируем еще раз:

Из первого равенства системы (17.18) можем выразить t через x:

Подставляем полученное выражение в формулу производной третьего порядка и приходим к ответу:

т. е.

Пример 5. Найти для функции

Решение. Согласно формуле (17.15), для дифференциала 3-го порядка справедлива формула

Последовательно вычисляем производные заданной функции:

Подставив полученное выражение в формулу приходим к ответу:

Задания