- •6. Показательные и логарифмические
- •6.1. Показательная функция, гиперболические
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.2. Понятие логарифма и его свойства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.3. Логарифмическая функция
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.4. Показательные уравнения,
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.5. Логарифмические уравнения
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.6. Показательные неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.7. Логарифмические неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1. Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13)
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
3.2. Решите уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
6.6. Показательные неравенства
Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при постоянном основании а, а > 0, a 1.
Типы неравенств и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.
I тип: неравенство вида
(6.12)
где b R.
Если то решением неравенства (6.12) является множество всех x из ОДЗ выражения f(x).
Если логарифмированием по основанию a неравенство (6.12) сводится к равносильному неравенству. При этом существенно учитывается величина основания a:
1) если то в результате логарифмирования получают неравенство
2) если то после логарифмирования приходят к неравенству
Далее решают в зависимости от вида выражения f(x).
Если исходное неравенство имело знак < или , или , то аналогично знак неравенства меняется на противоположный в случае и не изменяется в случае
II тип: неравенство вида
(6.13)
Для решения неравенства (6.13) (или аналогичных ему со знаками , <, ) используют монотонность логарифма:
1) если 0 < a < 1, то неравенство (6.13) равносильно неравенству
которое решают в зависимости от вида выражений f(x) и g(x);
2) если то неравенство (6.13) равносильно неравенству
III тип: неравенство вида
(6.14)
где F – некоторое выражение относительно
Вводят замену переменной и решают относительно переменнойy неравенство
Найденные в качестве решения промежутки (если такие существуют) записывают в виде неравенств относительно y и затем возвращаются к переменной x. Остается решить полученные показательные неравенства.
Если переменная содержится и в основании степени, и в показателе, то такое неравенство называется показательно-степенным. Поскольку изменение знака неравенства зависит от величины основания, то для показательно-степенных неравенств рассматривают два случая, т. е. решают совокупность систем неравенств.
Показательно-степенные неравенства решают при условии, что основание степени положительно.
В частности, аналогом показательного неравенства (6.13) является следующее показательно-степенное неравенство
(6.15)
Его решение сводится к решению совокупности:
Пример 1. Решить неравенство и в ответе указать меньшее целое решение.
Решение. Преобразуем неравенство к виду
т. е.
Получили неравенство I типа. Решаем логарифмированием по основанию 2. Поскольку основание степени – число 2 и 2 > 1, то знак неравенства сохраняется:
Получили Определим, между какими последовательными целыми числами находится числоИспользуя монотонность логарифма, имеем:
т. е.
Тогда
Следовательно,
Число –5 – меньшее целое решение, которое принадлежит промежутку
Получаем ответ: х = –5.
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Запишем неравенство в виде
Получили неравенство II типа. Поскольку основание степени число и то знак неравенства изменится на противоположный. Получаем неравенство:
т. е. и
Получили ответ:
Пример 3. Найти сумму целых решений неравенства
Решение. Преобразуем неравенство к виду
Разделив обе части неравенства на получим:
Получили квадратное неравенство относительно (неравенство III типа). Заменяем и решаем квадратное неравенство
Его решением является т. е.
Возвращаемся к исходной неизвестной величине:
Получаем множество решений: x [–2; 0].
Целыми решениями являются числа: x = –2, x = –1 и x = 0.
Их сумма равна:
Получаем ответ: –3.
Задания