- •6. Показательные и логарифмические
- •6.1. Показательная функция, гиперболические
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.2. Понятие логарифма и его свойства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.3. Логарифмическая функция
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.4. Показательные уравнения,
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.5. Логарифмические уравнения
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.6. Показательные неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.7. Логарифмические неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1. Установите, имеет ли уравнение корни:
1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8)9)
10)
1.2. Определите, сколько корней имеет уравнение Как это можно установить графически?
1.3. Решите уравнение:
1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8)9)
10)
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
2.2. Найдите значение выражения если
2.3. Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
5)
2.4. Решите уравнение:
1) 2)3)
4) 5)6)
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
3.2. Найдите сумму корней уравнения:
1) 2)
6.5. Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.
При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).
Типы уравнений и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число).
I тип: уравнение вида
(6.8)
где c R.
ОДЗ:
На указанной ОДЗ уравнение (6.8) решают по определению логарифма:
II тип: уравнение вида
(6.9)
ОДЗ:
На основании равенства логарифмов, уравнение (6.9) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению:
(6.10)
ОДЗ:
Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:
III тип: уравнения, решаемые заменой переменной
(6.11)
где F – некоторое выражение относительно
Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F.
Далее заменяют и решают уравнение
Если – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность
Полученные корни проверяют по ОДЗ.
З а м е ч а н и е. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (6.8)–(6.11) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Находим ОДЗ:
Решение системы:
Преобразуем уравнение к виду
Получили уравнение I типа, которое решается по определению логарифма:
откуда
Из полученных значений корень х = 4 не подходит по ОДЗ.
Получаем ответ: х = 6.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:
Заданное уравнение относится к I типу. Получаем:
Снова используем определение логарифма:
т. е. откуда
Полученные корни проверяем подстановкой в условия, определяющие ОДЗ уравнения. Убеждаемся, что корень подходит, а корень не подходит по ОДЗ.
Получаем ответ:
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:
Данное уравнение относится ко II типу, т. е. решается по свойству равенства логарифмов. Получаем:
т. е.
Раскладываем левую часть на множители:
откуда получаем
Подставляем найденные значения в ОДЗ, находим, что уравнение имеет только один корень х = 3.
В ответе имеем: х = 3.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Находим ОДЗ:
т. е.
Данное уравнение относится ко II типу. Решаем совокупность:
По ОДЗ подходит только корень х = 2, так как
Получаем ответ: х = 2.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: Преобразуем уравнение:
Имеем квадратное уравнение относительно (уравнениеIII типа). Заменяем
Решая полученное квадратное уравнение, находим корни Возвращаемся к переменной x:
Оба корня подходят по ОДЗ, получаем ответ:
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Запишем условия ОДЗ:
Воспользуемся тем, что
Тогда
Решаем полученное уравнение как уравнение I типа:
Среди целых делителей свободного члена находим корень х = –2. Он подходит по ОДЗ.
Пришли к ответу: х = –2.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: т. е.
Воспользуемся свойствами модуля: если и Тогда уравнение перепишется в виде
Заменяем и приходим к квадратному уравнению
корнями которого являются числа
Возвращаемся к старой переменной:
Раскрываем модуль, используя ОДЗ:
Получаем ответ:
Пример 8. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: т. е.х R.
Рассмотрим левую часть уравнения:
Преобразуем правую часть. Получим:
Используя функциональный метод решения, заключаем, что решением исходного уравнения является решение системы
т. е. х = –2.
Получаем ответ: х = –2.
Пример 9. Найти сумму корней уравнения
Решение. Для данного уравнения характерно следующее: если х – корень уравнения, то и (–х) тоже корень уравнения. Поэтому если уравнение имеет корни, то их сумма будет равна нулю. Подстановкой находим корни
Получаем ответ: 0.
Задания