- •6. Показательные и логарифмические
- •6.1. Показательная функция, гиперболические
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.2. Понятие логарифма и его свойства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.3. Логарифмическая функция
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.4. Показательные уравнения,
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.5. Логарифмические уравнения
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.6. Показательные неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.7. Логарифмические неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1. Найдите область определения функции:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
1.2. Постройте график функции:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
1.3. Определите знак числа:
1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8)9)
10) 11)12)
1.4. Определите, между какими последовательными целыми числами заключается логарифм:
1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8)9)
10) 11)12)
1.5. Сравните числа:
1) и2)и
3) и4)и
5) и6)и
II уровень
2.1. Найдите область определения функции:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
2.2. Постройте график функции:
1) 2)
3) 4)
5)
2.3. Сравните числа:
1) и2)и
3) и4)и
5) и6)и
7) и8)и
2.4. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
III уровень
3.1. Найдите область определения функции:
1) 2)
3) 4)
3.2. Постройте график функции:
1) 2)
3) 4)
3.3. Сравните числа:
1) и2)и
3) и4)и
5) и
3.4. Определите, при каких значениях m областью определения функции является вся числовая ось.
3.5. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций.
6.4. Показательные уравнения,
показательно-степенные уравнения
Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании a (a 0).
Типы показательных уравнений и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x) – некоторые выражения с неизвестной величиной x.
I тип: уравнение вида
где (6.2)
имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a:
Тогда
(6.3)
Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.
II тип: уравнение вида
где (6.4)
по свойству равенства степеней равносильно уравнению
Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.
III тип: уравнение вида
(6.5)
где F – некоторое выражение относительно
Производят замену переменной и решают уравнение F(y) = 0.
Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений
IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.
Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений x графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).
Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).
Типы показательно-степенных уравнений
и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с неизвестной x, f(x) > 0.
I тип: уравнение вида
(6.6)
Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности
II тип: уравнение вида
(6.7)
Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности
Пример 1. Решить уравнение
Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:
т. е.
Приходим к линейному уравнению
откуда
2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:
Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:
Пришли к ответу:
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:
По свойству степеней:
Получаем ответ: х = 0.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Преобразуем уравнение
Имеем квадратное уравнение относительно 2х. Решаем при помощи замены Получаем:
Корнями последнего уравнения являются значения
Возвращаясь к неизвестной x, имеем совокупность:
Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:
т. е.
Получили ответ: х = 3.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Выполним необходимые преобразования:
Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92х (92х 0). Получим:
т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда
откуда
Возвращаемся к старой переменной:
Получили ответ:
Пример 5. Решить уравнение
Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что х = 2– корень уравнения. Функции (т. е.) имонотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.
Рис. 6.12
2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2х. Получим:
или
Заменим Получим
При х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. х = 2 является корнем исходного уравнения.
Получили ответ: х = 2.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: x = 2, 3, …, n, … .
Перепишем уравнение в виде
Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:
Вводим замену
Получаем квадратное уравнение откуда
Возвращаемся к старой переменной:
Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: x 2.
Решением является совокупность
Корень x = 2 не подходит по ОДЗ.
Получили ответ: x = 1, x = 3.
Задания