I уровень

1.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

1.2. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

1.3. Определите знак числа:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

1.4. Определите, между какими последовательными целыми числами заключается логарифм:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

1.5. Сравните числа:

1) и2)и

3) и4)и

5) и6)и

II уровень

2.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

2.2. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

5)

2.3. Сравните числа:

1) и2)и

3) и4)и

5) и6)и

7) и8)и

2.4. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

III уровень

3.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

3) 4)

3.2. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

3.3. Сравните числа:

1) и2)и

3) и4)и

5) и

3.4. Определите, при каких значениях m областью определения функции является вся числовая ось.

3.5. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций.

6.4. Показательные уравнения,

показательно-степенные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании a (a  0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x) – некоторые выражения с неизвестной величиной x.

I тип: уравнение вида

где (6.2)

имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a:

Тогда

(6.3)

Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: уравнение вида

где (6.4)

по свойству равенства степеней равносильно уравнению

Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида

(6.5)

где F – некоторое выражение относительно

Производят замену переменной и решают уравнение F(y) = 0.

Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений x графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений

и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с неизвестной x, f(x) > 0.

I тип: уравнение вида

(6.6)

Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида

(6.7)

Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 1. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:

т. е.

Приходим к линейному уравнению

откуда

2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:

Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:

Пришли к ответу:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:

По свойству степеней:

Получаем ответ: х = 0.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение

Имеем квадратное уравнение относительно 2^х. Решаем при помощи замены Получаем:

Корнями последнего уравнения являются значения

Возвращаясь к неизвестной x, имеем совокупность:

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

т. е.

Получили ответ: х = 3.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования:

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 9^2х (9^2х  0). Получим:

т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда

откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Получили ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что х = 2– корень уравнения. Функции (т. е.) имонотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.

Рис. 6.12

2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2^х. Получим:

или

Заменим Получим

При х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. х = 2 является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: х = 2.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: x = 2, 3, …, n, … .

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:

Вводим замену

Получаем квадратное уравнение откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: x  2.

Решением является совокупность

Корень x = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: x = 1, x = 3.

Задания