I уровень

1.1. Найдите число, логарифм которого по основанию 2 равен:

1) –2; 2) –1; 3) 4) 5) 6) 0;

7) 8)9)10)11) 1; 12) 2.

1.2. Найдите логарифм числа 729 по основанию:

1) 9; 2) 3; 3) 4)

1.3. Найдите логарифм числа по основанию 3:

1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27;

5) 6) 7) 8)

9) 10)11)12)

1.4. Найдите число b, если:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

1.5. Найдите число а, если:

1) 2)3)

4) 5)6)

1.6. Вычислите значение логарифма:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

1.7. Упростите выражение:

1) 2)3)4)

5) 6)7)8)

1.8. Вычислите:

1) 2)3)

4) 5)

1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию a:

1) если 2) если

3) если 4) если

5) если 6) если

7) если

1.10. Выполните потенцирование:

1)

2)

3)

II уровень

2.1. Вычислите:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

2.2. Докажите неравенство:

1) 2)

2.3. Известно, что Выразите через a и b заданный логарифм:

1) 2) 3) 4)

III уровень

3.1. Вычислите:

1) 2)

3) 4)

3.2. Упростите выражение до числа:

3.3. Докажите, что

6.3. Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция

Свойства логарифмической функции

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули: функция обращается в нуль при x = 1.

6. Промежутки знакопостоянства: если то функция положительна дляотрицательна дляеслито функция положительна дляотрицательна для

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для есливозрастает для

9. Асимптоты: прямая x = 0 (ось Oy) – вертикальная асимп­тота.

10. График функции для изображен на рис. 6.9, а дляна рис. 6.10.

Рис. 6.9 Рис. 6.10

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

или

Функция еслиявляется обратной для функциипри

Функция еслиявляется обратной для функциипри

Пример 1. Определить знак числа:

1) 2) 3) 4)

Решение. 1) Поскольку основание логарифма больше 1 (а = 7) и значение, стоящее под знаком логарифма, больше 1 (b = 35), то из свойств логарифмической функции

2) Для основания логарифма имеем и для выражения, стоящего под знаком логарифма, выполняетсяПоэтому

3) Так как основание логарифма 5 и 5 > 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, равно ито

4) Для основания логарифма выполняется а под знаком логарифма число 19 (19 > 1). Поэтому

Пример 2. Сравнить числа:

1) и2)и

3) и 3.

Решение. 1) Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому

Тогда

2) Рассмотрим числа иТак как

и

то

следовательно,

3) Известно, что или

если a  0, b  0.

В нашем случае тогда

т. е.

Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то

Пример 4. Найти функцию, обратную функции Построить графики обеих функций в одной системе координат.

Решение. Найдем функцию, обратную данной:

Построим графики функций:

а) строим график функции график функциипереносим параллельно на две единицы вправо по осиOx и на две единицы вниз по оси Oy;

б) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой(рис. 6.11).

Рис. 6.11

Задания