I уровень

1.1.Решите неравенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

II уровень

2.1.Решите неравенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

III уровень

3.1.Решите неравенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7.7. Тригонометрическая и показательная формы

комплексного числа

Комплексное число в прямоугольной декартовой системе координатОхуизображается точкойМ(рис. 7.28).

Рис. 7.28

Длина радиус-вектора точки Мназываетсямодулем комплексного числаzи обозначается |z| илиr:

(7.31)

Угол , образованный этим вектором с положительным направлением действительной осиОх, называетсяаргументомчислаz. Связь между аргументомкомплексного числа и его действительной и мнимой частью выражается формулами:

(7.32)

или

(7.33)

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если – аргумент числаz, то– также аргумент этого числа при любом целомk. Для однозначности определения аргумента его выбирают в пределахтакое значение аргумента называютглавными обозначаютВсюду далее будем рассматривать главное значение аргумента:

На практике находить аргумент комплексного числа zимеет смысл согласно формуле (7.32) с учетом координатной четверти, в которой лежит числоz, или формул (7.33).

Запись комплексного числа в виде

(7.34)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пусть икомплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Тогда для произведенияи частногосправедливы формулы:

(7.35)

(7.36)

Для комплексного числа справедливаформула Муавра:

(7.37)

Корнем n-й степенииз комплексного числаzназывается комплексное числоwтакое, что

Корень n-й степени из комплексного числа

имеет nразличных значений, которые находят по формуле

(7.38)

где – арифметическое значение корня.

Все значения корня расположены на окружности с центром в начале системы координат и радиусомв вершинах правильного вписанного в окружностьn-угольника.

Соотношение

(7.39)

называется формулой Эйлера.

Пусть комплексное число zзаписано в тригонометрической форме. Используя формулу Эйлера (7.39), можно записать:

(7.40)

Такая форма записи называется показательной формойкомплексного числа.

Правила действий над комплексными числами

в показательной форме

(7.41)

(7.42)

(7.43)

где(7.44)

Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплексное число:

1) 2)3)

Решение. 1) Находим модуль данного числа по формуле (7.31):

Для нахождения аргумента  используем формулу (7.32):

и число z лежит в IV четверти. Поэтому (рис. 7.29).

Рис. 7.29

Подставим полученные значения |z| и  в формулу (7.34), получим:

2) В данном случае (точка, изображающая данное число, принадлежит отрицательной части мнимой оси (рис. 7.30)).

Рис. 7.30

Поэтому

3) Находим модуль комплексного числа

(так как ),(заданное число является отрицательным действительным числом (рис. 7.31)).

Рис. 7.31

Поэтому

Пример 2. Выполнить действия:

1)

2)

3)

Решение. 1) Используя формулу (7.35), находим:

2) Сначала представим число в тригонометрической форме. ИмеемПоскольку число лежит вIV четверти и тоСледовательно,

Теперь воспользуемся формулой (7.35):

Получаем ответ:

3) Заметим, что делимое число не записано в тригонометрической форме. Запишем его в этой форме. Получим:

Используя формулу (7.36), находим:

Переходя к алгебраической форме, получаем в ответе

Пример 3. Возвести в степень выражение

Решение. Представим число в тригонометрической форме. Здесьи соответствующая точка лежит воII четверти, т. е. ПолучилиПо формуле (7.37) находим:

Получаем ответ: 512.

Пример 4. Извлечь корень. Полученные значения корня изобразить на комплексной плоскости:

1) 2)

Решение. 1) Находим модуль и аргумент числа

Получаем Далее, используя формулу (7.38), вычисляем:

где

Если то

если то(рис. 7.32).

Рис. 7.32

2) Находим модуль и аргумент числа ПолучилиТогда, используя формулу (7.38), имеем:

где

Если то

если то

если то

Изобразим комплексные числа На комплексной плоскости точки, соответствующие значениям корня, являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность радиусомс центром в начале координат (рис. 7.33).

Рис. 7.33

Пример 5. Представить число в показательной форме:

1) 2)

Решение. 1) Находим модуль и аргумент комплексного числа и число лежит воII четверти, следовательно Получили

2) Находим модуль и аргумент комплексного числа Тогда, по формуле (7.40) имеем:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Искомыми корнями уравнения будут значения

Для имеемТогдаПо формуле (7.44) получаем:

где k = 0, 1, 2.

Если k = 0, то

если k = 1, то

если k = 2, то

Таким образом, корнями заданного уравнения являются числа:

Пример 7. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, для которых:

1) 2)3)

Решение. 1) Пусть тогда

Найдем модуль полученного комплексного числа

Тогда заданное равенство будет иметь вид:

или

Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке(рис. 7.34).

Рис. 7.34

2) Пусть Из условия имеемГеометрически это неравенство задает на плоскости множество точек, лежащих внутри угла с вершиной в точке (0; 0), стороны которого составляют с положительным направлением осиОх углы иа также множество точек, лежащих на луче(рис. 7.35).

Рис. 7.35

3) Заданная система равносильна следующей:

Решением системы будет пересечение множества точек, лежащих вне окружности и множества точек, лежащих внутри угла величиныи на его сторонах (рис. 7.36).

Рис. 7.36

Задания