I уровень

1.1.Проверьте, справедливо ли равенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

1.2.Вычислите:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1.3.Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

1.4.Найдите область определения функции:

1) 2)

1.5.Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

1.6.Постройте на единичной окружности угол, такой, что:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

II уровень

2.1.Вычислите:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

2.2.Сравните числа:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.3. Решите уравнение:

1)

2)

3)

4)

5)

2.4.Найдите область определения функции:

1) 2)

3) 4)

5)

2.5.Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

2.6.Постройте на единичной окружности угол, такой, что:

1) 2)

3) 4)5)

III уровень

3.1.Вычислите:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

8)

9)

3.2. Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

3.3.Решите неравенство:

1) 2)

3) 4)

5)

3.4. Известно, что числаявляются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Найдитех.

3.5.Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

3.6.Постройте на единичной окружности угол, такой, что:

1) 2)

3) 4)

5)

7.5. Тригонометрические уравнения

Приведем основные типы уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение

(7.19)

Если то уравнение (7.19) решений не имеет, так как

Если то уравнение имеет решение, которое находят по формуле

(7.20)

Частные случаи уравнения(7.19):

уравнение решение

уравнение решение

уравнение решение

Уравнение

(7.21)

Если то уравнение решений не имеет, так как

Если то уравнение (7.21) имеет решение, которое находят по формуле

(7.22)

Частные случаи уравнения (7.21):

уравнение решение

уравнение решение

уравнение решение

Уравнение

(7.23)

Решение уравнения (7.23) находят по формуле

(7.24)

Уравнение

(7.25)

Решение уравнения (7.25) находят по формуле

(7.26)

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

и воспользуемся формулой (7.20):

Используем нечетность функции

Из последнего равенства находим:

что приводит к ответу

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся частным случаем решения уравнения типа (7.21):

приходим к ответу

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Найдем решение по формуле (7.26):

Получаем ответ:

2. Уравнения, решаемые разложением на множители

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

Преобразуем уравнение следующим образом:

откуда

или

Решаем совокупность:

Однако решение не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. Поэтому получаем ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Используя формулу запишем уравнение в виде

откуда

Решаем совокупность:

Получаем ответ:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Используем формулу приведения и запишем уравнение в виде

Преобразуем по формуле суммы косинусов:

откуда получаем совокупность:

Приходим к ответу:

3. Уравнения, решаемые с помощью формул

преобразования произведения тригонометрических

функций в сумму

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Преобразуем произведение в сумму, получим:

Преобразуем в сумму произведение

Используем формулу приведения и представим последнее уравнение в виде

Преобразуем полученную сумму синусов в произведение:

Получаем уравнение

которое решаем по формуле (7.22):

Получаем ответ: