- •7. Тригонометрия
- •7.1. Тригонометрические функции
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •7.2. Основные тригонометрические формулы
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •7.3. Графики тригонометрических функций
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •7.4. Обратные тригонометрические функции
- •I уровень
- •2. Уравнения, решаемые разложением на множители
- •3. Уравнения, решаемые с помощью формул
- •4. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной
- •5. Однородные уравнения
- •6. Неоднородные уравнения 2-й степени
- •7. Неоднородные уравнения 1-й степени
- •8. Уравнения, решаемые с применением формул
- •9. Уравнения, решаемые методом универсальной
- •10. Уравнения, решаемые применением ограниченности
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •7.6. Тригонометрические неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •7.7. Тригонометрическая и показательная формы
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1.Выразите в радианной мере угол:
1) 100º; 2) 244,38º; 3) 720º; 4) 135º; 5) 27,13º.
1.2.Выразите в градусной мере угол:
1) 2)3)4) 0,64; 5) 3,627.
1.3.Найдите значение функции:
1) sin, если и
2) cos , если и
3) tg , если и
4) сtg , если и
1.4.Вычислите:
1) 2)3)4)
5) 6)
7) 8)
9)
10)
1.5.Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:
1) 2)3)
1.6.Выберите среди чисел наименьшее:
1)
2)
1.7.Докажите тождество:
1)
2)
3)
4)
1.8.Упростите выражение, используя формулы (7.4)–(7.7) и формулы приведения:
1) 2)
3)
4)
5)
6)
II уровень
2.1.Найдите значение выражения:
1) иесли
2) еслии
3) если
2.2.Определите знак произведения:
1)
2)
3)
4)
5)
2.3. Вычислите:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) если
8) еслии
9) если
10)
11)
2.4.Докажите тождество:
1)
2)
3)
4)
5)
2.5.Упростите выражение:
1)
2)
3)
4) если
5)
6)
7)
8)
2.6.Сравните два числаи
III уровень
3.1.Докажите тождество:
1)
2)
3)
4)
5)
3.2.Вычислите:
1) еслии
2) еслии
3.3.Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3.4.Найдите значение выраженияесли
3.5.Сравните числаи
3.6.Найдите наибольшее значение выражения
7.2. Основные тригонометрические формулы
Всюду далее считаем, что выражения определены на своей ОДЗ.
Формулы суммы и разности углов
(7.8)
Формулы двойных и тройных углов
(7.9)
(7.10)
Формулы половинного аргумента
(7.11)
Формулы понижения степени
(7.12)
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
(7.13)
Формулы произведения тригонометрических функций
(7.14)
Формулы универсальной подстановки
(7.15)
Пример 1. Упростить выражение
Решение. Используя формулы (7.7)–(7.9), получим:
Пример 2. Вычислить выражение
Решение. Чтобы применить формулы (7.12), преобразуем по формулам приведения:
Тогда
Пример 3. Вычислить выражение если
Решение. Используя универсальную подстановку, получим:
Подставив в полученное выражение находим:
Пример 4. Преобразовать в произведение выражение
Решение. Для решения можно использовать формулы понижения степени, а также формулы суммы и разности тригонометрических функций (7.12) и (7.13):
Пример 5. Найти значение выражения:
1)
2)
Решение. 1) Для применения формулы двойного аргумента умножим и разделим исходное выражение наПолучим:
Используя формулы приведения, преобразуем
Тогда получим:
2) Из формул приведения следует:
Отсюда, используя формулы (7.8), имеем:
Задания
I уровень
1.1. Вычислите:
1) еслии
2) еслии
3) если
4) если
5)
6) если
7) если
8)
9) если
10)
1.2. Упростите выражение:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7)
8)
1.3.Докажите тождество:
1) 2)
3) 4)
5)
6)
7)
8)
1.4.Вычислите:
1) 2)
1.5. Упростите выражение:
1)
2)
1.6.Проверьте справедливость равенства:
1) 2)
1.7. Вычислите:
1) 2)
1.8.Преобразуйте в произведение выражение:
1) 2)
3) 4)
5)
1.9.Представьте в виде суммы тригонометрических функций выражение:
1) 2)
1.10.Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)
5)