- •Практический раздел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольное задание №2. Получить сднф, скнф, используя таблицу истинности. Построить днф, кнф, упростив выражение.
- •Методические указания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольное задание №3. Упростить схему (рис. 2)
- •Методические указания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Методические указания
- •Задачи для самостоятельного решения. В задачах также надо методом Магу найти доминирующие и независимые множеств вершин графа и исследовать граф на наличие эйлерова и гамильтонова циклов
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Алгоритмы на булевых матрицах. Алгоритмы анализа графов и их использование
Контрольное задание №2. Получить сднф, скнф, используя таблицу истинности. Построить днф, кнф, упростив выражение.
((х у) (х z))y
Методические указания
Всякая логическая функция n переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все 2ⁿ наборов значений переменных (т.е. двоичных векторов длины n), а в правой части - значения функции на этих наборах. В этой таблице (таблица истинности) наборы расположены в лексикографическом порядке, который совпадает с порядком возрастания значений наборов, рассматриваемых как двоичные числа.
Характеристическое множество логической переменной функции – это множество М1 двоичных наборов, на котором функция принимает значение 1. Логическая функция может быть задана с помощью своего характеристического множества М1 или с помощью множества М0 наборов, на котором она равна 0.
В табл. 2 приведены все булевы функции fi (х1, х2) от двух аргументов. В левом столбце показаны их выражения в терминах нескольких функций, принятых за основные, а в следующих столбцах значения, принимаемые данными функциями на каждом из четырех наборов значений аргументов х1 и х2 (приведенных в верхней части таблицы).
Таблица 2
Булевы функции от двух аргументов
-
х1
0
0
1
1
х2
0
1
0
1
f0 = 0– константа 0
0
0
0
0
f1 = х1 х2– конъюнкция
0
0
0
1
f2– отрицание импликации
0
0
1
0
f3 = х1
0
0
1
1
f4– отрицание обратной импликации
0
1
0
0
f5 = х2
0
1
0
1
f6 = х1 х2– сложение по модулю 2
0
1
1
0
f7 = х1 х2- дизъюнкция
0
1
1
1
f8 = х1 х2– стрелка Пирса
1
0
0
0
f9 = х1 х2– эквиваленция
1
0
0
1
f10 =х2
1
0
1
0
f11 = х2 х1– обратная импликация
1
0
1
1
f12 =х1
1
1
0
0
f13 = х1 х2– импликация
1
1
0
1
f14 = х1 х2– штрих Шеффера
1
1
1
0
f15 = 1 – константа 1
1
1
1
1
Для установления порядка выполнения операций в формулах используются скобки. При отсутствии скобок порядок устанавливается согласно приоритетам операций. Первым приоритетом обладает операция отрицания, затем выполняется . Третьим приоритетом обладают операции и , четвертым приоритетом – операции ~ и . Для упрощения написания формул иногда символ конъюнкции опускается.
Все операции алгебры логики можно выразить через булевы операции. Справедливость формул (1)-(3) можно доказать простой подстановкой значений из табл. 2:
х у = xy x y; (1)
х ~ у =xy x y; (2)
х у =x y. (3)
Всякая дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).
Всякая конъюнкция элементарных дизъюнкция называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).
Любую логическую функцию, не равную тождественно единице, можно представить в ДНФ. Любую логическую функцию, не равную тождественно нулю, можно представить в КНФ.
Дизъюнктивная нормальная форма логической функции называется совершенной (СДНФ), если все её составляющие есть конституенты единицы.
Всякую, не равную тождественно нулю, логическую функцию можно представить в виде СДНФ.
Конъюнктивная нормальная форма называется совершенной (СКНФ), если все её составляющие есть конституенты нуля.
Всякую, не равную тождественно единице, логическую функцию можно представить в виде СКНФ.
Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности функции состоит из трех шагов.
В таблице истинности выбираются наборы, на которых функция принимает значение 1 (единицы).
Для наборов, выбранных на первом шаге, составляются конституенты единицы, в которые переменная входит с инверсией, если в соответствующем наборе она принимает значение 0 (ноль), и без инверсии, если в соответствующем наборе она принимает значение 1 (единицы).
Составляется дизъюнкция построенных на втором шаге конституент единицы.
Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности логической функции содержит три шага.
В таблице истинности функции выбираются наборы, на которых функция принимает значение 0 (нуля).
Для этих наборов составляются конституенты нуля, в которые переменная входит с инверсией, если в наборе она принимает значение единицы, и без инверсии, если в наборе она принимает значение нуля.
Составляется конъюнкция построенных на предыдущем шаге конституент нуля.
Приведение формулы к ДНФ сводится к раскрытию скобок в соответствии с первым дистрибутивным законом в булевой формуле функции, содержащей знаки инверсии на самих переменных, с последующим исключением тождественных нулей и объединением равных членов.
Приведение формулы к КНФ сводится к раскрытию скобок в соответствии со вторым дистрибутивным законом в булевой формуле, содержащей знаки инверсии на самих переменных, с последующим исключение тождественных единиц и объединением равных членов.
Решение.
Построим истинностную таблицу сложного высказывания, заданного формулой S = ((х у) (х z))
Очевидно, истинностная таблица будет содержать строк.Построим таблицу (табл. 3).
Таблица 3
Истинностная таблица
-
x
y
z
х у
х z
((х у) (х z))
S
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
Согласно алгоритмам построения СДНФ и СКНФ по таблице истинности получим следующие результаты
СДНФ =
СКНФ =
Пользуясь формулами (1) и (3), построим булево выражение, эквивалентное формуле ((х у) (х z))y и найдем ДНФ и КНФ
((х у) (х z))y = (x y xz x z)y = (x y z)y =xy yz,
откуда ДНФ = xy yz, КНФ = (x z)y .