2_0

Необходимо распределить капиталовложения между предприятиями таким образом, чтобы эффективность работы всех предприятий была макси- мальной.

2. Построим математическую модель задачи.

Q(ξ ) = g1 (x1 ) + g2 (x2 ) + g3 (x3 ) + g4 (x4 ) → max x1 + x2 + x3 + x4 = ξ

xi ≥ 0, i = 1, 4, ξ ≥ 0 .

3. Рекуррентное соотношение Беллмана для нахождения условно-опти- мальных управлений:

Wk (ξ ) = max{gk (x) + Wk −1 (ξ − x)}, k = 2,3,4 0,

0≤ x≤ξ

где Wk (η ) − максимальная эффективность k предприятий, если им выделено η капита-

ловложений.

4. Решение задачи.

Если мы выделили все средства 1-му предприятию, то по таблице 1 ви- дим, что общий доход будет составлять 43 ед.

Выделим средства первому и второму предприятию. Тогда, пользуясь рекуррентным соотношение Беллмана получим условно-оптимальные управ- ления следующие:

W2 (ξ ) = max{g2 (x) + W1 (ξ − x)}

0≤ x≤ξ

W2 (0) = 0 .

W2 (100) = max {g2 (0) + W1 (100 − 0), g2 (100) + W1 (0)} = max{30,32} = 32.

0≤ x≤100

60

W2 (200) = max {g2 (0) +W1 (200), g2 (100) +W1 (100), g2 (200) +W1 (0)} =

0≤x≤200

= max{33, 32 + 30,34} = 62.

Выпишем в таблицу условно-оптимальное управление на втором шаге.

u2 − оптимальное выделение средств второму предприятию при распределе- нии их между двумя первыми.

Для трех предприятий:

61

Таблица 2.5.3

Таблица 2.5.3 а

u3 − оптимальное выделение средств третьему предприятию при распределе- нии их между тремя первыми.

Для четырех предприятий:

Таблица 2.5.4

62

Таким образом, из табл. 2.5.4. а видим, что max эффект составляет 117ед. = Wopt . Теперь будем находить безусловно-оптимальное управление.

Для этого будем использовать таблицы 2.5.2а , 2.5.3а 2.5.4а . Максимальный эффект получается, если четвертому предприятию мы выделим 100 тыс. т.е x4 = 100 .

Если трем предприятиям выделим 400 тыс. $, то оптимальный эффект будет при выделении третьему предприятию 300 тыс. $, т.е. x3 = 300 (из табл. 2.5.3а).

Теперь видно, что для первого и второго предприятия остается 100 тыс. $. Из таблицы 2.5.2а видим, что max эффект при выделении первым двум предприятиям 100 тыс. будет, если второму предприятию мы выделим 100 тыс. $, т.е. x2 =100 . Тогда x1 = 0 .

Требуется:

1)найти оценки коэффициентов уравнения линейной регрессии yˆ = aˆ0 + a1 x ;

2)найти линейный коэффициент корреляции, сделать вывод;

3)найти коэффициент детерминации, сделать вывод;

4)проверить значимость уравнения регрессии в целом;

5)проверить значимость коэффициентов регрессии и коэффициента корре- ляции;

6)найти доверительные интервалы для параметров регрессии;

7)найти ошибку аппроксимации, сделать вывод;

63

8)найти прогнозное значение результативного признака при данном xпр = 1,1x ;

9)найти доверительный интервал для индивидуального значения результа- тивного признака yпр ;

10)построить корреляционное поле и линию регрессии на нём.

Примечание. Вычисления произвести с помощью аналитических фор- мул и с помощью пакета «Анализ данных».

При статистическом анализе результатов использовать доверительную вероятность γ = 0,95 (значимость α = 0,05 ).

Решение. 1) в регрессионном анализе рассматривается три основные задачи: построение уравнения регрессии, проверка качества полученного уравнения, прогнозирование по полученному уравнению. Рассмотрим эти за- дачи. Можно более подробно анализировать полученное уравнение регрес- сии.

y = aˆ0 + aˆ1x + e

64

где e = εˆ или

yˆ = aˆ0 + aˆ1x − уравнение регрессии y на x

Построение модели, оценка параметров, в основном осуществляют тремя подходами.

1.1) Параметры модели оценивают решением системы

1.3) Используют компьютерные программы в EXCEL. Это наиболее просто.

Тут можно использовать «Мастер диаграмм»; «»; «Стандартные»; «Точечная»; «»; «Далее»; «Далее»; «Далее»; «Готово»; «Диаграмма»; «Добавить линию тренда»; «Параметры»; «Показать уравнение на диа-

грамме»; «ОК». Получим рис. 2.6.3.

Рис. 2.6.3

Рассмотрим эти способы в отдельности.

1.1) При первом способе надо найти указанные суммы в системе и ёё решить. Для анализа полученной модели основную роль играют остатки ei = yi − yˆi . Потому их тоже вычисляем. Вычисления оформляем табл. 2.6.2.

65

Таблица 2.6.2.

Для наглядности вычислим средние значения и исправленные диспер- сии показателей X и Y :

Составляем систему нормальных уравнений и решаем её:

Получили модель

yˆ = 2,864+1,631x .

66

Замечание. Оценки параметров модели можно находить по формулам

1.2) Строим модель линейной регрессии, используя матричный подход

Матрица X получается дописыванием слева столбца из единиц к столбцу из наблюдаемых значений объясняющей переменной.

X ′ − матрица транспонированная к матрице X .

Транспонированную матрицу в EXCEL получают следующим образом. Выделяем место расположения транспонированной матрицы; «Вставка»; «Функция»; «Ссылки и Массивы»; «ТРАНСП»; «ОК»; выделяют массив,

Произведение матриц в EXCEL получают следующим образом. Выде- ляем место расположения произведения матриц, четыре клетки 2 × 2 ; «Вставка»; «Функция»; «Математические»; «МУМНОЖ»; «ОК»; выде-

67

ляют «Массив1»; переводят курсор в «Массив 2» и выделяют вторую мат- рицу; одновременно нажимают две клавиши « ,Ctrl» и, не отпуская их, на- жимают и отпускают «Enter».

Находим обратную матрицу ( X ′X )−1 .

Её можно находить по определению:

Обратную матрицу в EXCEL получают следующим образом. Выделяем место расположения обратной матрицы, четыре клетки 2 × 2 ; «Вставка»;

«Функция»; «Математические»; «МОБР»; «ОК»; выделяют исходную мат-

рицу; одновременно нажимают две клавиши « ,Ctrl» и, не отпуская их, на- жимают и отпускают «Enter».

Находим ( X ′X )−1 X ′

68

Получили ту же формулу линейной модели

yˆ = 2,864+1,631x .

Третий способ рассмотрим ниже.

Проверка качества уравнения регрессии

Проверка качества регрессии состоит в нахождении некоторых чи- сел по определенным формулам и сопоставление этих чисел с табличными или нужно делать непосредственные выводы исходя из величины этих чи- сел.

2) Вычислим линейный коэффициент корреляции rxy :

Близость коэффициента корреляции к единице указывает на тесную линейную связь между признаками.

3) Коэффициент детерминации

R2 = rxy2 = 0,9872 = 0,974

показывает, что уравнением регрессии объясняется 97,4% дисперсии резуль- тативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 2,6%.

Коэффициент детерминации можно находить непосредственно по оп- ределению

где n − число наблюдений, m − число регрессоров (для парной регрес- сии m = 1).

69