2_0

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Составление математических экономических задач.

1.1. Известно, что содержание трех питательных веществ А, В и С в ра- ционе должно быть не менее 90, 80, 50 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержатся в трех видах продуктов. Содержание еди- ниц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продуктов приведено в таблице.

Определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимо- го количества питательных веществ, при минимальных денежных затратах.

1.2. Торговое предприятие реализует 4 группы товаров (А, В, С и D). Нормы затрат ресурсов на каждый тип товаров, лимиты ресурсов, а также доход на единицу каждой продукции заданы в таблице. Определить плано- вый объем продаж товаров таким образом, чтобы доход торгового предпри- ятия был максимален.

1.3. Предприятие может работать по пяти технологическим процессам (Т1, Т2, Т3, Т4 и Т5), причем количество единиц выпускаемой продукции по разным технологическим процессам за 1 ед. времени соответственно равно

90

300, 260, 320, 400 и 450 шт. В процессе производства учитываются следую- щие факторы: сырье, электроэнергия, оплата труда и накладные расходы. За- траты соответствующих факторов при работе по разным технологическим процессам в течение 1 ед. времени указаны в гривнах в данной таблице.

Найти программу работы предприятия, обеспечивающего максималь- ный выпуск продукции.

1.4. Ресторан «Волна» обслуживает обедами близлежащие коммерче- ские предприятия, приготавливая первые и вторые блюда.

Известны затраты на производство, доставку, накладные расходы про- изводства и товарооборот для каждого блюда (см. таблицу). Плановый фонд ресурсов следующий: затраты на производство не должны превышать 1850 чел.- час; на доставку потребителям – 1200 чел.- час; накладные расходы должны быть не более 400 грн. и план товарооборота 1200 грн. Известна также доля дохода от каждого блюда.

Требуется найти, какое количество каждого вида блюд надо выпускать при заданных ограничениях, чтобы обеспечить максимум дохода ресторана.

1.5. Издательский дом «УРОЖАЙ» издает три журнала: «Дача», «Дом в деревне» и «Садовник», которые печатаются в трех типографиях: «Типогра- фия № 1», «Полиграф» и «АПН», где общее количество часов, отведенное

91

для печати, и производительность печати одной тысячи экземпляров ограни- чены и представлены в таблице.

Спрос на журнал «Дача» составляет 15 тыс. экз., на «Дом в деревне» – 8,5 тыс. экз., а на журнал «Садовник» – не более 18 тыс. экз. в месяц.

Определите оптимальное количество издаваемых журналов, которые обеспечат максимальную выручку от продажи.

1.6. Для выпуска четырех видов продукции необходимы затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице.

Необходимо определить план выпуска продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

1.7. Три фирмы производят однородную продукцию, которая реализу- ется в 4 магазинах. Производительность каждой фирмы, потребности всех магазинов, а также стоимость перевозки одной единицы товара от каждого склада каждому магазину приведены в таблице.

Определить план перевозки продукции от фирм магазинам, при кото- рых затраты на перевозку будут минимальными.

92

1.8. Фирма производит три вида красок: для внутренних (В), для на- ружных (Н) работ и стандартную (С) как для внешних, так и для внутренних работ. Для изготовления красок используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы при- ведены в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает 4 т в сутки. Цена продажи 1 кг крас- ки для наружных работ – 30 ден.- ед., для внутренних работ – 40 ден.- ед., а стандартной – 35 ден. - ед.

Какое количество краски каждого вида должна производить фирма в течение суток, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

1.9. Животноводческое хозяйство имеет возможность покупать три различных видов зерна и готовить различные виды смесей (комбикормов) для кормления животных. Различные зерновые культуры содержат разное количество питательных компонентов (ингредиентов). Допустим, что прини- маются в расчет четыре компонента, данные по которым приведены в табли- це. Управляющему хозяйством надо определить, какая из всех возможных смесей является самой дешевой при соблюдении минимальных требований с точки зрения ее питательности, т.е. минимизировать затраты с целью полу- чения оптимального составления комбикормов.

1.10. Хладокомбинат производит три типа мороженого «Эскимо», «Фунтик» и «Пломбир». Для производства 1 т «Эскимо» требуется 0,2 час работы оборудования, для мороженого «Фунтик» – 0,3 час, а для мороженого «Пломбир» – 0,25 час. Расход специального ингредиента на них составляет 0,02 т, 0,03 т и 0,04 т на 1 т соответственно. Ежедневно в распоряжении ком- бината – 16 т специального ингредиента и 24 час работы оборудования. До-

93

ход от продажи 1 т мороженого «Эскимо» составляет 2,5 тыс. грн., «Фунтик»

– 3,5 тыс. грн., а «Пломбир» – 3,1 тыс. грн.

Определите ежедневный план производства мороженого каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.

1.11. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить определенное количество питательных веществ, содер- жащихся в фруктах (см. таблицу).

Определите, какое количество фруктов каждого вида необходимо ку- пить за сезон, чтобы выполнить предписание врача и затратить минимальное количество средств.

1.12.Магазин «Стройматериалы" завозит на пилораму доски длиной 6,5 метров – 200 шт. и длиной 4 метра – 50 шт. и заказывает изготовить ком- плекты из трех элементов: две вагонки длиной 2 м и одна вагонка длиной 1,25 м. Рассчитайте, как распилить доски, чтобы изготовить, а затем продать максимальное количество комплектов.

1.13.Бумажная фабрика обладает запасами сухого сырья и наполнителя для производств пяти типов бумаги. Размеры запасов каждой группы сырья, нормативы его расхода на каждый тип бумаги и прибыль от реализации 1 т каждого типа бумаги заданы в таблице.

Определить размеры годовой выработки каждого типа бумаги, обеспе- чивающие максимальную общую прибыль от ее реализации при условии, что

94

планом предусмотрен обязательный выпуск не менее, чем 8 000 т газетной бумаги и 3 000 т обойной бумаги.

1.14. Составьте наиболее дешевый вариант 1 т кормовой смеси в соот- ветствии с требованиями, представленными в таблице:

1.15. Нефтеперерабатывающий завод «НЕФТЬ» получает 4 полуфабри- ката: 400 тыс. алкилата, 250 тыс. крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. изопентана. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бен- зина: бензин А (2:3:5:2), бензин В (3:1:2:1) и бензин С (2:2:1:3). Стоимость 1 тыс. л бензина каждого сорта равна, соответственно, 12 000 грн., 10 000 грн.

и 15 000 грн.

Определить план выпуска бензина, при котором будет достигнута мак- симальная стоимость всей продукции.

1.16. Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице.

Необходимо определить, сколько каждого вида продукции следует вы- пустить, чтобы общая прибыль выпускаемой продукции была максимальной.

1.17. На предприятие поступили две партии фанеры, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250.

Из них изготавливаются комплекты, включающие: 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го типа и 2 детали 3-го типа. Один лист фанеры каждой партии мо-

95

жет раскраиваться тремя способами: К1 К2, и К3. Количество деталей каждо- го типа, которое получается при раскрое одного листа по тому или иному способу, представлено в таблице.

Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.

1.18. Строительная компания планирует строить дома четырех типов. Данные о количестве квартир в доме каждого типа , потребности в квартирах и стоимости домов приведены в таблице:

Найти план строительства домов, при котором суммарная стоимость постройки будет минимальна.

1.19. Детали А, В и С можно обрабатывать на трех станках (I, II, III). В таблице указаны нормы затрат времени на обработку станком соответствую- щей детали, стоимость одного часа работы и предельное время работы стан- ка.

Предполагая, что любая деталь может обрабатываться на любом из станков, определить оптимальную производственную программу, минимизи- рующую суммарные затраты на обработку.

1.20. Четыре строительных объекта используют песок, который добы- вается на пяти карьерах. Потребности объектов в песке ежесуточно состав-

96

ляют 550, 320, 430 и 350 тонн соответственно. Возможности карьеров по до- быче песка и стоимость перевозки одной тонны песка приводятся в таблице.

Определить план перевозки песка, при котором суммарные затраты на перевозку будут минимальными.

Задание 2. Решение задач линейного программирования.

Решить задачу: 1) графически, 2) с помощью симплекс-метода, 3) с по- мощью «Поиска решений» в Excel, 4) составить двойственную задачу, 5) най- ти решение двойственной задачи, 6) определить дефицитность ресурсов, 7) найти интервалы устойчивости по сырью и ценам.

2.1. Для производства двух видов изделий А и В используется токар- ное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие каждого вида приведены в таблице. В ней же указаны общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

2.2. Известно, что откорм животных является экономически выгодным, когда животное получает в дневном рационе не менее 6 единиц питательного вещества А, не менее 12 единиц вещества В, не менее 4 единиц вещества С. Для откорма животных можно использовать два вида кормов. Содержание необходимых веществ в 1 кг корма каждого вида и цена в условных единицах 1 кг каждого корма приведены в таблице.

97

Определить, какое количество корма каждого вида необходимо расходо- вать, чтобы общие затраты на откорм были минимальными.

2.3. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя спосо- бами. Количество получаемых заготовок при заданном способе раскроя при- ведено в таблице. В ней также указана величина отходов, которые получают- ся при данном способе раскроя одного листа фанеры.

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует рас- кроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.

2.4. Цех для производства двух видов продукции использует четыре группы оборудования. Исходная информация представлена в таблице

Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.

98

2.5. При подкормке посева нужно внести на 1 га почвы не менее 8 еди- ниц химического вещества А, 21 единицы вещества В и 16 единиц вещества С. Сельскохозяйственное предприятие покупает комбинированные удобре- ния двух видов ( 1 и 2 ). В таблице указаны содержание химических веществ и цена за единицу веса каждого вида удобрений.

Определить какое количество каждого вида удобрений необходимо за- купить, чтобы общие затраты были минимальными.

2.6. Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие каждого вида, а также прибыль от реализации одного изделия и общее количество имею- щихся ресурсов каждого вида приведены в таблице

2.7.Из двух сортов бензина для определенных целей составляют две смеси А и В. Смесь А состоит из 60% бензина 1-го сорта и 40% – 2-го сорта, смесь В содержит 80% бензина 1-го сорта и 20% – 2-го. Известно, что одна тоннв смеси А стоит 500 грн., а одна тонна смеси В – 600 грн. В наличии имеется 100 т бензина 1-го сорта и 60 т бензина 2-го. Запланировать такой выпуск смесей, чтобы общая выручка от их реализации была максимальной.

2.8.Цех для производства двух видов продукции использует четыре группы оборудования. Исходная информация представлена в таблице. Опре- делить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максималь- ная прибыль.

99