2_0

2.ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

2.1.Составление математических моделей задач линейного про-

граммирования

2.1.1. Задача об оптимальном плане выпуска продукции. Найти оп-

тимальное распределение пашни под посев трёх культур: капусты, картофеля и люпина при условии, что в хозяйстве имеется 720 га пашни, 9 тыс.тонн ор- ганических удобрений, количество чел./дней труда составляет 50 тыс.

Затраты ресурсов и выход валовой продукции в денежном выражении в расчёте на 1га указанных культур приведены в табл.1.1.

Таблица 2.1. Исходные данные задачи 2.1.1

Требуется определить посевов культур, максимизирующий валовую продукцию в денежном выражении при условии, что площадь, занимаемая люпином, должна быть не менее 100 га.

Решение. Математическая модель задачи линейного программирова- ния (ЗЛП) составляется путем экономического анализа по следующей схеме:

1)вводят переменные;

2)формируют целевую функцию;

3)формируют ограничения;

4)налагают условия неотрицательности переменных (или указывают интервалы изменения переменных).

Ограничимся составлением математической модели задачи. Обозначим через x1, x2 , x3 количество гектаров пашни, отведенное под каждую культуру

соответственно.

Целевая функция − это выражение, которое необходимо максимизиро- вать или минимизировать. В нашем случае это общий выход валовой про- дукции в денежном выражении. Валовая продукция капусты в денежном вы- ражении равна 20 000x1 грн., картофеля − 18 000x2 грн., люпина −

грн. Поэтому Z = 20 000x1 +18 000x2 + 8 000x3 .

На один гектар под капусту вносится 15 т органических удобрений, по- этому на x1 га будет внесено 15x1 т, соответственно под картофель надо вне- сти 12x2 т и под люпин − 9x3 т. Общее количество органических удобрений не превышает 9 тыс. т. Имеем первое ограничение 15x1 +12x2 + 9x3 ≤ 9 000. Аналогично по трудовым ресурсам получаем второе ограничение

10

xj ≥ 0 (j = 1,3).

Решать такие задачи следует специальными приёмами.

Довольно просто они решаются с использованием компьютера. Реше- ние, полученное с помощью компьютера, имеет вид

x1 = 220, x2 = 400, x3 = 100 , Zmax = 12 млн. грн.

2.1.2. Задача о рационе. При составлении суточного рациона кормле- ния скота можно использовать свежее сено (не более 60 кг) и силос (не более 80 кг). Рацион должен содержат не менее 35 кормовых единиц, 1 кг белка, 100 г кальция и 80 г фосфора. В таблице приведены данные о содержании указанных питательных веществ в 1кг каждого корма и себестоимость этих кормов.

Определить оптимальный рацион исходя из минимума его себестоимо-

сти.

Решение. Обозначим через x1 и x2 соответственно количество сена и силоса, которое предполагается включить в рацион. Из условия непосредст- венно следуют два ограничения:

x1 ≤ 60 , x2 ≤ 80 .

11

Количество кормовых единиц, содержащихся в рационе ( x1; x2 ), можно выразить суммой: 0,4x1 + 0,6x2 . По условию эта величина не может быть меньше 35 единиц, т. е. 0,4x1 + 0,6x2 ≥ 35 . Ограничения по содержанию в ра- ционе белка, кальция и фосфора примут следующий вид: 40x1 + 10x2 ≥ 1000 ; 1,26x1 + 2,6x2 ≥ 100 ; 2x1 + x2 ≥ 80 . Естественно также, что x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0.

В принятых обозначениях себестоимость рациона Z можно выразить в виде следующей функции: Z = 20x1 + 16x2 .

Итак, задача сводится к определению таких значений: x1 и x2 , удовле- творяющих составленным выше ограничениям, при которых линейная функ- ция Z достигает наименьшего значения, т. е. к решению задачи

Z = 20x1 + 16x2 → min,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2.1.3. Задача о раскрое материалов. Заготовки длиной 4 м надо разре- зать на детали длиной 1,6 м, 1,4 м, 1 м. Первых надо получить 60 шт., вторых − 50 шт., третьих − 70 шт. Количество заготовок неограниченно. Надо найти количество заготовок, которое необходимо разрезать, чтобы было минималь- ное количество отходов, и при этом получить требуемое количество деталей.

Решение. Составим схему раскроя, то есть, определим способы рас-

12

В данном примере существует шесть способов раскроя. Способы рас- кроя и соответствующие переменные желательно внести в таблицу

Замечание. Задача о раскрое часто формулируется иначе. Для нашего примера она имеет следующий вид.

Требуется получить максимальное количество комплектов деталей по 1,6 м, 1,4 м, и 1 м в соотношении 2:4:3 в каждом комплекте из имеющихся 150 заготовок.

Решение. Введём дополнительно ещё одну переменную x − количест- во комплектов.

Тогда математическая модель задачи примет вид:

13

2.1.4. Транспортная задача. В городе имеются три хлебозавода, кото- рые снабжаются мукой четырёх мелькомбинатов. Потребности в муке хлебо- заводами соответственно равны 30, 20, 40 т. Возможности мелькомбинатов соответственно равны 15, 20, 30, 25 т.

Стоимость перевозки 1 т муки от мелькомбинатов до хлебозавода пока- заны в таблицу:

Требуется организовать поставку муки хлебозаводам таким образом, чтобы полностью обеспечить их работой с минимальными транспортными расходами.

Решение. Проверяем наличие закрытости транспортной модели. Суточная потребность в муке равна 30+20+40=90 (т), а суточная произ-

водительность 15+20+30+25=90 (т). Так как эти величины равны между со- бой, то модель закрыта.

Составим математическую модель задачи.

Введём переменные xij ≥ 0 (i = 1,4; j = 1,3) – количество муки, которое

планируется перевозить от i-го мелькомбината к j-у хлебозаводу (например, х21 – количество муки, которое планируется перевозить от второго мельком- бината к первому хлебозаводу), Z – суммарные транспортные издержки, ко- торые надо минимизировать:

Z = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 6x21 + 5x22 + 7x23 + 2x31 + 3x32 + 2x33 + 4x41 + 6x42 + 4x43.

С первого мелькомбината вывозится x11 + x12 + x13 т муки и так как зада- ча закрыта, то эта величина равна 15 т, что записывается в виде равенства x11 + x12 + x13 = 15. Количество привезённой муки на первый хлебозавод рав-

но x11 + x21 + x31 + x41 и оно равно 30 т, т.е. x11 + x21 + x31 + x41 = 30. Поступая аналогично по остальным мелькомбинатам и хлебозаводам, получаем мате- матическую модель задачи:

Z = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 6x21 + 5x22 + 7x23 + 2x31 + 3x32 + 2x33 + 4x41 + 6x42 + 4x43 → min,

14

Общее количество погруженных контейнеров

40x11 + 30x12 + 10x13 + 20x21 + 40x22 + 40x23 + 30x31 + 45x32 + 35x33 .

1, если i-й погрузчик направляется на погрузку j-го вида контейнеров, xij = 0, если i-й погрузчик не направляется на погрузку j-го вида контейнеров.

2.2. Решение задач линейного программирования и анализ полученного решения

Задача 2.2.1. Фима «Молот»» получила заказ на изготовление деталей двух видов из цинка, меди и олова. Запасы сырья и прибыль от реализации каждого изделия внесены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1. Исходные данные выпуска продукции задачи 2.2.1

Найти план выпуска продукции, чтобы доход от её реализации был максимальный.

Решить задачу: 1) графически, 2) с помощью симплекс-метода, 3) с по- мощью «Поиска решений» в Excel, 4) составить двойственную задачу, 5) найти решение двойственной задачи, 6) определить дефицитность ресурсов,

16

7) найти интервалы устойчивости по сырью и ценам, 8) проверить целесооб- разность выпуска третьего изделия по цене 400 грн. и затратами металла 1кг, 0,5 кг и 2,5 кг соответственно.

Решение. Обозначим через х1 количество выпуска продукции первого вида, х2 – второго, Z – доход от реализации всей продукции. Тогда математи- ческая модель задачи имеет вид

1. Решаем задачу графически.

1) Находим область допустимых решений (ОДР). Для этого строим гра-

например О(0,0). Подставляем её координаты в первое ограничение. Если не- равенство в этой точке выполняется, то первое ограничение определяет по- луплоскость, которая содержит выбранную точку, если нет, то оно опреде- ляет полуплоскость, в которой не лежит выбранная точка. В точке О(0,0) не- равенство выполняется следующим образом: 0,5 0 + 0 ≤ 100. Поэтому первое ограничение определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой l1 . На рис. 2.2.1 это отмечено двумя стрелками.

x2 = 0 , x1 = 120. Берём произвольную точку, не лежащую на этой прямой, например О(0,0). Подставляем её координаты во второе ограничение. В точке О(0,0) неравенство выполняется следующим образом: 0 + 0 ≤ 120. Поэтому второе ограничение определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой

извольную точку, не лежащую на этой прямой, например О(0,0). Подставля- ем её координаты в третье ограничение. В точке О(0,0) неравенство выпол- няется следующим образом: 0 + 0 ≤ 300. Поэтому третье ограничение опре- деляет полуплоскость, расположенную ниже прямой l3 . На рис. 2.2.1 это от- мечено двумя стрелками.

17

x1 ≥ 0 определяет правую полуплоскость относительно оси 0х2, x2 ≥ 0 определяет верхнюю полуплоскость относительно оси 0х1.

Из условий x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 следует, что ОДР находится в первой четверти. Выделяем ОДР − пятиугольник OABCD.

2)Строим вектор с = (с1,с2 ) = (300,500) или вектор ему коллинеарный

–направление наибольшего возрастания функции Z

3)Строим прямую вектору с, желательно, чтобы она пересекала ОДР. Можно строить прямую 300x1 + 500x2 = 0 ( 3x1 + 5x2 = 0).

4)Перемещаем эту прямую в направлении вектора с, пока она станет опорной к ОДР. Опорной прямой выпуклого многоугольника называется пря- мая, которая имеет хотя бы одну общую точку с этим многоугольником и он расположен по одну сторону от нее. Перемещаемая прямая становится опор- ной в точке B.

l3 x2

300

200

c

Рис. 2.2.1. Графическое решение задачи 2.2.1

18