ІПЗ.pdf
.pdf
61
Аналогічно задайте операторів для другого і третього власних значень.
1.9.Для знаходження коефіцієнтів при власних векторах в розкладанні необхідно вирішити систему лінійних рівнянь. Її зручно записати в матричній формі. Створіть вектор T з трьома елементами. Величини цих елементів значення не мають.
1.10.Запишіть ключове слово given.
1.11.Нижче запишіть матричне рівняння S • Т = V. Знак логічної рівності введіть за допомогою комбінації клавіш CTRL+=.
1.12.Знайдіть коефіцієнти в розкладанні за допомогою функції find.
.
5.3 Побудова графіків
5.3.1. Інструменти побудови графіків
Для побудови двовимірного графіку в координатних осях Х-Y, треба викликати команду Insert --> Graph --> X-Y Plot (Вставка --> Графік --> Декартові координати). Для додавання графіка можна скористатися також гарячою клавішею @. В області розміщення графіка знаходяться заповнювачі для виразів, що відображаються, і діапазону зміни величин. Заповнювач у середини осі координат призначений для змінної або виразу, що відображається по цій осі. Зазвичай використовують діапазон або вектор значень. Граничні значення по осях вибираються автоматично відповідно до діапазону зміни величини, але їх можна задати і вручну.
Уодній графічній області можна
побудувати декілька графіків. Для цього треба у відповідній осі записати декілька виразів через кому. Різні криві зображаються різним кольором, а для форматування графіка треба двічі натиснути на області графіка. Для управління відображенням побудованих ліній служить вкладка Traces (Лінії) в діалоговому вікні параметрів графіку. Поле Legend Label (Опис) задає опис лінії, який відображається тільки при скиданні прапорця Hide Legend (Приховати опис). Список Symbol (Символ) дозволяє вибрати маркери для окремих крапок, список Line (Тип лінії) задає тип лінії, список Color (Колір) — колір, список Weight (Товщина) — товщину лінії.
5.3.2. Приклад побудови графіка
Побудувати графік, що відображає задані експериментальні дані, визначити апроксимуючу залежність. Побудувати інший графік, що відображає величину відхилення експериментальних значень від апроксимуючої кривої
Послідовність дій:
1.Запустіть програму Mathcad.
2.Створіть таблицю data з експериментальними даними, скопійованими з Excel:
62
Таблиця 5.1. Експериментальні дані
3. Запишіть формулу функції r(х) для визначення координат точок, що лежать на
апроксимуючій прямій 
. Визначіть коефіцієнти лінійного рівняння що є якнайкращим наближенням для даних. Функція slope дозволяє обчислити коефіцієнт нахилу прямої, а функція intercept — вільний член:
X:=data<0> Y:=data<1>
b0:=intercept(X,Y) |
b0 |
= 0.07421. |
b1:=slope(X,Y) |
b1 |
= 3.0115. |
5.Натисніть клавішу @, або на кнопці X-Y Plot на панелі інструментів Graph, або викличте команду Insert -> Graph -> X-Y. У документі з'явиться область для створення графіка.
6.Замість заповнювача в нижній частині графіка вкажіть як незалежну змінну
перший стовпець матриці data (
або X).
7.Замість заповнювача зліва від графіка вкажіть значення з другого стовпця матриці data і визначена вище лінійна функція r(Х). Як роздільник використовується кома. Діапазон значень для осей координат вибирається програмою Mathcad автоматично.
8.Щоб змінити вид автоматично побудованого графіка, двічі натисніть всередині нього. Відкриється діалогове вікно Formatting Currently Selected X-Y Plot
(Форматування графіка в декартових координатах). Перший запис в списку на вкладці Traces (Криві) відповідає першій відображеній кривій. Для зміни запису використовуються поля під списком.
9.Під стовпцем Legend Label (Підпис) введіть назву графіка.
10.У списку, що розкривається, під стовпцем Symbol (Маркер) виберіть спосіб позначення окремих точок.
11.Під стовпцем Type (Вид лінії) вкажіть малювати окремі крапки (points), а не проводити безперервну лінію.
12.Встановіть прапорець Hide Arguments (Приховати параметри), щоб не відображати назви осей.
13.Скиньте прапорець Hide
Legend (Приховати підписи), щоб включити відображення під графіком заданих підписів кривих.
14.У полі Title (Заголовок) на вкладці Labels (Написи) задайте назву графіка і включіть режим його відображення: прапорець Show Title (Показати заголовок).
15.Побудуйте графік, на якому б відображалася величина відхилення експериментальних крапок від лінії
наближення 
. Відформатуйте його, використовуючи ті ж засоби, що і у попередньому випадку. Отриманий результат повинен бути схожий на рисунок 5.4.
Рисунок 5.4. Результати обробки експериментальних даних.
63
5.4 Програмування в Mathcad
5.4.1. Створення програм. Використання локальних і глобальних змінних
Програми в Mathcad записуються в спеціальний відособлений від решти документа блок, який позначається чорною вертикальною лінією з маркерами команди програми. Для додавання одиничного елементу програмного блоку, натисніть кнопку Add Line (Додати лінію) панелі інструментів Programming (Програмування). Або скористайтесь
«гарячою» клавішею «]». При цьому в області курсора з'явиться наступний об'єкт: 
. Для зручності рекомендується відразу задати блок з 5-6 маркерів. Зробити це можна, послідовно натиснувши потрібну кількість разів відповідну кнопку панелі Programming або «гарячу» клавішу. Програмний блок можна створити і усередині вже заданого блоку. Для цього використовуйте один із стандартних способів, поставивши курсор в маркер будь-якого из операторів програмування.
Для присвоювання значень змінним і функціям в програмах Mathcad використовується спеціальний оператор: ß (Local Definition — Локальне присвоювання), розташований на панелі Programming (Програмування), який можна ввести поєднанням клавіш Shift+«[». Використовувати оператор звичайного присвоювання «:=» в програмах не можна.
Присвоювання значень в програмах має ряд особливостей. Найважливішою з них є те, що присвоювання величин може бути зроблено як в самій програмі, так і поза нею. Якщо значення змінної або функції привласнюється в програмі за допомогою оператора «ß», то така змінна або функція буде локальною, тобто видимою тільки в межах програми. Якось вплинути на об'єкти за своїми межами програма вона може (так само як і ззовні до неї не можна буде дістати доступ). Якщо змінна або функція задається вище програми за допомогою оператора «:=», то вона матиме глобальну видимістю і буде доступна будь-якому об'єкту, розташованому нижче, у тому числі і коду програм. Проте програма може тільки прочитати значення глобальної змінної або викликати глобальну функцію. Якось змінити значення глобальної змінної або функції програма не може. Якщо програма повинна здійснювати якусь модифікацію об'єкту (наприклад, зводити всі елементи масиву в квадрат), то модифікований результат вона повинна повертати, а не присвоювати.
Локальні змінні і функції мають пріоритет над глобальними в межах програми. Це означає, що якщо є локальна і глобальна змінні (або функції) з однаковим ім'ям, то звернення по цьому імені адресуватиметься до локальної змінної (або функції). можна
декларувати |
декілька |
змінних |
в |
одному |
рядку |
через |
кому: |
|
. |
|
|
|
|
Результат роботи програми можна вивести за допомогою «=». Також програму можна привласнювати змінній або записувати в функцію. При цьому результат її обчислення буде значенням даної змінної, або результатом функції.
Аналогічно більшості операторів і вбудованих функцій, програми Mathcad можуть
бути прораховані як чисельно, так і символьно. Проте аналітичний розрахунок алгоритмів
64
користувача не узгоджений з операторами on error і return, тому він может бути проведений лише у програмі без цих операторів.
5.4.2. Умовні оператори if, otherwise
Зі всіх програмних операторів оператор умови if (якщо) (гарячі клавіші Shift+«]») є, мабуть, найбільш важливим. Його доводиться використовувати практично у всіх створюваних алгоритмах.
Умовний оператор if має два маркери: 
. У правий маркер вводиться умова, в лівий — операція, яка повинна бути виконана у випадку, якщо умова буде істинною. В маркер оператора може бути внесене декілька умов.
Оператор otherwise (інакше) призначений для визначення тієї дії, яка повинна бути виконане, якщо умова оператора if виявиться неістинною. Одночасно може бути використане декілька умовних операторів if. Оператор otherwise у такому разі буде задіяний, якщо не виконаються умови всіх операторів if.
5.4.3. Повернення значень за допомогою оператора return
За допомогою оператора return (повернути) можна перервати роботу програми і повернути деяке значення. Зазвичай даний оператор використовується при описі дій алгоритму у разі помилкової ситуації, наприклад у функції, що обраховує суму n-членів гармонічного ряду:
5.4.4. Організація циклів за допомогою операторів for, while
В Mathcad можна створювати цикли for і while. Дві форми використання циклів
for:
1.
.
2.
.
Приклад організації циклу по цілочисельній змінній:
За допомогою іншого оператора циклу while (доки) (поєднання клавіш Ctrl+«]») можна організувати цикл, який працюватиме до тих пір, поки виконується задана умова.
Оператора while має два маркери, в яких вводяться відповідно умова роботи циклу і вираз операцій, які повинні бути виконані на кожному його витку.
У разі необхідності цикл може бути перерваний за допомогою
оператора break (перервати) (вводиться поєднанням клавіш Ctrl+Shift+«[»). Іноді
65
алгоритм містить декілька умов, причому при виконанні одного з них розгляд останніх приведе до помилки. В цьому випадку потрібно після виконання операцій, прописаних в першій умові, відразу ж перейти до розгляду наступного значення циклічною змінною. Щоб це зробити, слід використовувати спеціальний оператор continue (Продовжити) (поєднання клавіш Ctrl+«]»).
5.4.5. Перехоплення помилок (on error)
Для обробки помилок в програмах слід використовувати спеціальний оператор on
error (вводиться також поєднанням Ctrl+«'»): 
Даний оператор по своєму синтаксису повністю відповідає умовному операторові if. У правий його маркер слід ввести величину або вираз, помилка в обчисленні якого повинна бути зареєстрована. У лівому маркері слід прописати умову, яка повинна бути виконане при виникненні помилкової ситуації.
5.4.6. Приклад програми табулювання складної функції
Обчислити значення функції τ(x) на відрізку [a,b] з кроком c:
ì |
tg2 |
|
ln |
|
x + ex |
|
|
|
a = 0 |
b = 3 |
c = 0.2 |
|||
ï |
|
|
|
|
, якщо x<1 |
|
|
|
||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = í5sin2 x + cos x2 |
, якщо 1≤x≤2 |
|
|
|
||||||||||
ï |
|
|
x +1.2 |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|||||||||
îln |
|
|
-10 |
|
, якщо x>2 |
|
|
|
||||||
|
ex +1 |
|
|
|
||||||||||
Розв‘язок:
Методичні вказівки до виконання роботи
1. Прості обчислення із використанням програми Mathcad.
Знайти розв‘язок задачі «знайти ребро куба, рівновеликого кулі, площа поверхні якого рівна площі бічної поверхні прямого кругового конуса, у якого висота удвічі менша, ніж довжина твірної. Об'єм цього конуса дорівнює номеру варіанта». Приклад розв’язку можна знайти в теоретичних відомостях п.5.1. Обчислення потрібно виконати в автоматичному і ручному режимі обчислень.
66
2. Вектори і матриці
Розкласти заданий вектор 
по нормованим власним векторам заданої матриці M (дивись приклад розв‘язку в теоретичних відомостях п.5.2.4 і варіанти завдання в таблиці 5.2). Розрахунки повинні виконуватись в ручному режимі обчислень.
3. Побудова графіків
Створити в Excel таблицю 20-ма випадковими значеннями і скопіювати її в MathCAD. Побудувати графік, що відображає ці дані, визначити коефіцієнти апроксимуючої
зависимостм 
. Додати другий графік, що відображає величину відхилення експериментальних значень від апроксимуючої кривої (дивись приклад в теоретичних матеріалах п. 5.3.2).
4. Програмування в Mathcad.
Написати програму для обчислення значень функції τ(x) на відрізку [a,b] з кроком c (дивись приклад в теоретичних відомостях в п.5.4 і варіанти завдання в таблиці 5.3).
Таблиця 5.2. Варіанти завдання 2.
№ |
|
|
|
M |
|
|
|
|
№ |
|
|
|
M |
|
|
1. |
|
7 |
5 |
2 |
|
|
2. |
|
1 |
6 |
4 |
|
|||
|
|
6 |
10 |
2 |
|
|
|
|
6 |
3 |
3 |
|
|||
|
|
7 |
8 |
10 |
|
|
|
|
4 |
7 |
5 |
|
|||
3. |
|
3 |
2 |
3 |
|
|
4. |
|
3 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
5 |
3 |
5 |
|
|
|
|
5 |
5 |
2 |
|
|||
|
|
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|||
5. |
|
10 |
|
6 |
|
8 |
|
|
6. |
|
6 |
|
1 |
1 |
|
|
|
5 |
|
10 |
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
5 |
10 |
|
|
|
7 |
|
8 |
|
5 |
|
|
|
|
10 |
|
4 |
7 |
|
7. |
|
3 |
|
3 |
|
4 |
|
|
8. |
|
2 |
|
4 |
3 |
|
|
|
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|||
|
|
5 |
4 |
5 |
|
|
|
|
2 |
2 |
5 |
|
|||
Таблиця 5.3. Варіанти завдання 4
№ |
|
|
|
|
|
τ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
||
1. |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ³ 1 |
-3 |
3 |
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
3 |
+ f + c |
f |
+ cos f |
||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
f<-1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 £ f<1 |
|
|
|
|
|
|
ln |
tg( f + |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f +π ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ï |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
î f sin |
- |
|
f + 5.2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b<0 |
-2 |
4 |
0.4 |
|
ï |
|
|
|
b + ln |
b - cosb |
|
|
0 ≤ b<1 |
|
|
|
||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b>1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q = í(b -π )tg(b +π ) + 2.1*10−3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
ïb + 3.5
ïln3 b
î sin b
67
3. |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a £ 0 |
-1 |
3 |
0.2 |
|
ï |
|
|
|
|
a3 +π (a - sin2 a) |
|
0<a<2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a ³ 2 |
|
|
|
|
z = í5.2*10−4 + a2 + cos2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
tg |
2 |
(a |
2 |
+ 3) - a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a -π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2≤r≤4 |
0 |
5 |
0.25 |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
r3 + r + 0.5 |
|
r>4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r<2 |
|
|
|
|
|
m = í2.2*10−4 r - sin r |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
r + cos r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π + r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
ìs + ln |
|
cos2 s - s2 |
|
|
|
|
|
|
-1≤s≤1.2 |
-2 |
2 |
0.2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s<-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s>1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgs + |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
k = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
s |
2 |
lg(s + e |
5 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
ì |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y>1 |
-2 |
2 |
0.2 |
|||||||
|
|
|
|
y + ln y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0≤y≤1 |
|
|
|
|
l = íπ + cos2 (y +1.2) |
|
y<0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï y lg( y2 + 2) +π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y≥2 |
-4 |
5 |
0.5 |
|
|
|
|
|
y2 + y +1.5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2<y<2 |
|
|
|
|
γ = íπ + cos2 ( y +1.2) |
|
y≤-2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ 2) +π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ï y lg(y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x>-0.5 |
-5 |
5 |
0.5 |
|
|
x +1 -tg2ex+i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï5 |
|
|
|
-1≤x≤-0.5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
ln |
|
x + e |
|
|
|
+10−4 |
|
x<-1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
p = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ï cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≤-1 |
-4 |
4 |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x - 3 |
|
sin |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1≤x≤0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ï |
|
|
|
|
sin ln |
2 |
|
|
x |
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≥0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
θ = í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï4 |
|
|
x + e |
x |
|
|
|
x +1 +π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
ì |
|
|
|
|
x |
2 |
+ tg |
2 |
|
x -π |
|
x≤-0.5 |
-2 |
2 |
0.2 |
||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5<x≤0.5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = í |
|
cos 7 |
|
x + ln |
x |
|
|
|
|
|
|
x>0.5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ï4 |
|
x + ex |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
ìx2 π - x ex+1 -10−3 |
|
x<-1 |
-5 |
5 |
0.5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
-1≤x<1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
π + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≥1 |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
β = í |
|
|
|
|
|
tg2 3 |
|
|
x ln |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ïln x + 3 |
x + |
|
|
|
x +π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
12. |
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≥0 |
-4 |
2 |
0.5 |
|
|
tg2 7 |
|
x + ex +π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
-1<x<0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(x2 +1) -1 |
|
x≤-1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ω = ísin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2×10−4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
x + |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x>0.5 |
-1 |
1 |
0.1 |
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
x + x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1≤x≤0.5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
f |
ï |
|
|
|
sin |
|
|
x - ex |
|
|
|
|
|
|
x<0.1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
x + cos |
2 |
(x -1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≥1 |
-2 |
2 |
0.2 |
|
|
|
ïcos(x |
|
+ x -1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
-1<x<1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≤-1 |
|
|
|
|
|
d = í |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ex+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ï |
|
|
x ln2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
|
ì x - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x>2 |
-3 |
3 |
0.3 |
|||
|
|
|
|
x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0<x≤2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ï |
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≤0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x + x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
h = ísin |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|
x2 + ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
ì 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≥1 |
-2 |
2 |
0.2 |
|
|
x + ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1<x<1 |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≤-1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ϑ = í tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
2 |
(x +π ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ïcos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вимоги до програмного забезпечення: Mathcad 2000 і вище. Рекомендований час виконання роботи: 4 години.
Рекомендована література
1.Информатика. Базовый курс. 2-ое издание / Под ред. С.В. Симоновича. – СПб.:
Питер, 2005. - 640 c.
2.Гурский Д. А., Турбина Е. С. Вычисления в Mathcad 12. — СПб.: Питер, 2006. — 544 с : ил.
Контрольні питання
1.Які інструменти для створення формул пропонує програма Mathcad?
2.Чим відрізняється автоматичний і ручний режим обчислень?
3.Які види масивів підтримуються в Mathcad?
4.Перелічіть способи створення матриць.
5.Вкажіть параметри графіків в Mathcad.
6.Які оператори програмування в Mathcad ви знаєте?
7.Чим локальні змінні відрізняються від глобальних в програмах Mathcad?
8.Яким чином можна передавати результати роботи програм в Mathcad?
69
Лабораторна робота №6
Тема роботи: Розв‘язок математичних задач за допомогою системи Mathcad. Мета роботи: Отримати знання та навички символьного, чисельного і
геометричного розв‘язку математичних задач, таких як знаходження коренів систем лінійних і нелінійних рівнянь, пошук похідних і інтегралів, задачі лінійного програмування.
Основні теоретичні відомості
6.1. Особливості виконання символьних (аналітичних) і чисельних розрахунків в Mathcad
В Mathcad реалізовані два принципово різних підходів до обчислень: більш традиційні чисельні методи, що використовують різноманітні алгоритми для отримання більш менш точного чисельного результату тієї або іншої математичної операції за рахунок всіляких наближень. Складнішими в технічній реалізації і більш універсальними по можливостях є символьні, або аналітичні, методи. Робота символьного процесора пов'язана з аналізом тексту самої перетворюваної формули, а це дозволяє, наприклад, при інтеграції отримувати не просто десятковий дріб відповіді, як у випадку застосування чисельного методу, а саму функцію первісної. Крім того, символьні результати абсолютно точні. По всіх параметрах аналітичні рішення в Mathcad перевершують чисельні. Проте застосування можливостей символьного процесора обмежене тим, що тільки для дуже небагатьох завдань існує аналітичне рішення, а також тим, що далеко не всі завдання може обчислити Mathcad.
Деякі приклади можуть бути прораховані як символьнj, так і чисельно. Для кожного з підходу до обчислень існують два різні оператори обчислення:
1.Оператор чисельного виведення «=».
2.Оператор символьного розрахунку має вигляд стрілки "à", і ввести його можна з
панелі Symbolic або Calculus (див. рис.5.1 у лабораторній роботі 5), або за допомогою поєднань клавіш "Ctrl+.".
Ніяких відмінностей в техніці використання цих операторів не немає. Розглянемо приклад символьних і чисельних розрахунків:
У системі Mathcad існує два альтернативні шляхи здійснення практично будь-якого символьного перетворення: за допомогою команд спеціального підменю Symbolics (Символічні) головного меню або операторів відповідної панелі. Для здійснення необхідних символьних перетворень за допомогою команд меню Symbolics, необхідно виконати наступну послідовність дій.
1.Ввести вираз. Якщо це рівняння, то як знак рівності слід використовувати оператора логічної рівності «=». В тому випадку, якщо рівняння задане в стандартному вигляді (тобто права частина рівна нулю), можна визначити одну лише ліву частину: вона буде прирівняна до нуля за умовчанням.
2.Залежно від того, який тип символьних операцій повинен бути застосований до введеного виразу, необхідно виділити або змінну (якщо потрібно використовувати, наприклад, команду розв’язку рівнянь або розкладання в ряд), або весь вираз повністю (для команд символьної алгебри).
70
3. Виконати необхідну команду.
В результаті виконаних дій, залежно від налаштувань, над, під або на місці початкового виразу з'явиться відповідь.
Розглянемо приклад символьних розрахунків за допомогою команди меню
"Symbolics --> Variable -->Integrate" (при виділеній змінній x).
Панель Symbolic (Символьні) сімейства Math (Математичні) своїм змістом практично повністю повторює відповідне меню. Проте між аналітичними обчисленнями, здійснюваними за допомогою меню, і операціями, що проводяться з використанням операторів панелей інструментів, існує декілька принципових відмінностей:
1) символьні операції, виконуваних за допомогою панелі Symbolic, здійснюються не командами, а спеціальними операторами, причому просто набрати з клавіатури текст символьного оператора не можна. Ефективніший шлях введення необхідних операторів дає використання спеціальної заготівки Symbolic Keyword Evaluation (Символьні
обчислення з клавіатури): 
Після введення в лівий маркер ключового слова заготовка буде перетворена в потрібний оператор. Вставити ж дану заготівку можна поєднанням клавіш «Ctrl+Shift+.»;
2) символьні перетворення за допомогою команд меню здійснюються Mathcad без урахування визначень і присвоювань, зроблених в документі вище.
Дуже часто при перетворенні виразу потрібно використовувати відразу декілька команд. У системі Mathcad розв’язок такого роду завдань полегшене тим, що існує можливість поєднання декількох символьних операторів в одному блоці. Наприклад, якщо необхідно виконати розкладання в ряд і потім знайти його суму при деякому значенні змінної з якоюсь певною точністю, то потрібно виконати наступну послідовність дій:
1.Введіть оператора розкладання в ряд series (ряд).
2.Встановивши курсор в крайній правий маркер, натисніть кнопку введення оператора підстановки substitute (замістити).
3.Виділивши отриманий розрахунковий блок, введіть
оператора чисельного значення виразів float. Розташування нового оператора щодо блоку залежить від того, в яку сторону повернений курсор: якщо його горизонтальна лінія знаходиться зліва від блоку, то оператор буде введений зверху, якщо вона розташована справа, то додавання оператора відбудеться знизу.
4. У лівий маркер, розташований за лінією блоку, що з'явилася, введіть перетворюваний вираз. Праві маркери символьних операторів заповнюються стандартно.
Спільно можна використовувати не тільки операторів панелі Symbolic. Також можна суміщати символьних операторів і операторів математичного аналізу панелі Calculus.
Формат виведення чисельного результату
Точність розрахунку чисельних значень виразів алгебри або вбудованих функцій (а також їх поєднань) постійна при будь-яких величинах системних змінних і складає 17 знаків після коми. Тому за бажання можна отримати і точніше, ніж при стандартних настройках, значення вашої змінної або функції. Для цього встановіть курсор на текст