Geodeziya_1_chastina_26-09-2011

21

мки вискових ліній зображені переривчатими лініями, а теоретичні для випадку однорідної Землі – суцільними). Отже, поверхня геоїда, яка всюди перпендикулярна напрямкам вискових ліній, буде мати складну, неправильну форму зі змінною кривизною.

Особливо різкі зміни кривизни поверхні геоїда спостерігаються біля підніжжя гірських хребтів, поблизу берегових ліній морів і глибоких озер. Близькість гори є причиною відхилення виска в бік гори від того положення, яке б він займав у випадку її відсутності. При цьому кут відхилення виска тим більший, чим ближче знаходиться гора і чим більша її маса. Подібні явища відхилення виска спостерігаються і в районах зі слабовираженим рельєфом, що свідчить про наявність у цьому районі мас із різною щільністю.

Отже, фігура геоїда суттєво залежить від розподілення мас у земній корі. Її поверхня має неправильну, складну і недостатньо ще вивчену форму. Однак дослідженнями результатів численних астрономо-геодезичних і гравіметричних вимірювань встановлено, що поверхня геоїда в загальному близька до поверхні еліпсоїда обертання з малим стисненням за напрямком полярної осі.

Тому при обробці результатів геодезичних вимірів замість складної поверхні геоїда приймають математично правильну поверхню еліпсоїда обертання. Форму і розміри еліпсоїда, а також його орієнтування в тілі Землі можна обрати так, що відхилення поверхні еліпсоїда від поверхні геоїда будуть мінімальними в межах території даної країни.

Таким чином, поверхня еліпсоїда є тією математичною поверхнею відносності, на яку переносять (проектують) виміряні елементи геодезичних мереж, а потім визначають взаємне положення проекцій геодезичних пунктів.

22

1.2. Земний еліпсоїд

Земним еліпсоїдом називається еліпсоїд обертання, розміри якого встановлені з визначень розмірів Землі.

Рис. 3. Еліпсоїд обертання

Еліпсоїд обертання являє собою геометричне тіло, створене обертанням еліпсу QPQ1P1 навколо його малої осі РР1 (рис. 3). Розміри і форма еліпсоїда впевнено визначаються довжинами великої а і малої b півосями еліпса, обертанням якого він створений.

Окрім того, форму еліпсоїда, тобто ступінь його сплющеності, можна характеризувати іншими величинами, які залежать від півосей а і b, а отже, стисненням еліпсоїда (α), тобто відношенням різниці довжин великої і малої півосей еліпсоїда до довжини великої півосі:

або ексцентриситетом еліпсоїда

Із цих формул випливає, що чим більша різниця між півосями еліпса, тим більше він відрізняється від кола, а еліпсоїд обертання – від кулі. Інакше кажучи, чим більше стиснення або ексцентриситет, тим більша сплющеність еліпсоїда, і навпаки.

При α=е=0 еліпс обертається в коло, а еліпсоїд − у кулю.

Стиснення земного еліпсоїда α≈ 1: 300. Якщо виготовити модель еліпсоїда (глобус) з великою піввіссю α=300 мм, то мала піввісь такого глобуса була б всього на 1 мм коротше, що вказує на близькість форми земного еліпсоїда до форми кулі.

Елементи земного еліпсоїда – півосі а і b, стиснення α або піввісь а і ексцентриситет е, можна отримати величину малої півосі b еліпсоїда. Так, із формул (1.1) і (1.2) відповідно випливає:

Таким чином, еліпсоїд обертання визначається значеннями двох його елементів, з яких один обов’язково повинен бути лінійним (піввісь а або b). В геодезії земний еліпсоїд звичайно визначають значеннями його великої півосі а і стиснення α.

Розміри земного еліпсоїда обчислювались за матеріалами градусних вимірювань у різний час багатьма вченими. Деякі з результатів обчислень, що отримали застосування в геодезії, наведені в табл. 1.

Урізних країнах застосовуються різні розміри земного еліпсоїда. Так, наприклад, у США, Канаді і Мексиці користуються розмірами еліпсоїда Кларка 1866 р., у Франції – розмірами еліпсоїда Кларка 1880 р., в Єгипті, Фінляндії і декотрих інших країнах – розмірами еліпсоїда Хейфорда, в Австралії - розмірами еліпсоїда Бесселя.

Уцарський Росії і в СРСР до 1946 р. використовувались розміри еліпсоїда Бесселя 1841 року. З 1946 р., згідно

зпостановою уряду СРСР, для всіх астрономо-геодезичних і картографічних робіт СРСР були прийняті розміри земного еліпсоїда Красовського.

Унаслідок малого стиснення земного еліпсоїда його поверхня близька до сферичної. Тому для розв'язання декотрих практичних задач прикладного значення фігуру Землі приймають за кулю, поверхня якої дорівнюється поверхні еліпсоїда прийнятих розмірів. Радіус такої кулі, обчислений за елементами еліпсоїда Красовського, дорівнюється 6 371 116 м, або закруглено 6371 км.

25

У геодезії радіус сферичної поверхні Землі часто береться таким, що дорівнює середньому радіусу кривизни під відповідною широтою.

З 1 січня 2007 року на території України введена Державна геодезична референцна система координат УСК2000, яка відповідає міжнародним стандартам для систем координат і висот, подальший розвиток Української постійно діючої мережі супутникових спостережень, отримання зв’язку системи координат УСК-2000 зі Світовою геодезичною системою координат WGS-84 та Міжнародною загальноземною референтною системою координат

ITRS.

1.3. Основні лінії і площини еліпсоїда

Розглянемо декотрі лінії і площини на поверхні еліпсоїда обертання, які використовуються при визначенні місцеположення точок і напрямків.

Площина QEQ1 (рис. 4), перпендикулярна до осі обер-

тання еліпсоїда і проходить через його центр, називається площиною екватора, а переріз поверхні еліпсоїда цією площиною – екватором. Звичайно, екватор є колом, радіус якого дорівнює великій піво-

сіOQ1 a .

Рис. 4 Основні лінії і площини еліпсоїда Переріз поверхні еліпсоїда площинами, паралельними

площині екватора, являють собою також кола, які називаються паралелями.

27

Усі площини, які проходять через нормаль, називаються нормальними площинами, а лінії перетинання цих площин із поверхнею еліпсоїда - нормальними перерізами. Отже, меридіан є однім із нормальних перерізів.

Нормальна площина, перпендикулярна до площини меридіана в точці М, називається площиною першого вертикалу в цій точці, а крива vMv1 , по який вона перетинає по-

верхню еліпсоїда, - першим вертикалом.

Меридіан і переріз першого вертикалу називаються головними нормальними перерізами.

Кут, створений у даній точці М (рис. 6) нормальним перерізом МК і меридіаном МР, називається геодезичним азимутом AT напрямку МК.

Азимути відраховуються від північного напрямку меридіана точки за рухом годинникової стрілки і змінюються

від 0 до 360 .

2. Системи координат, які застосовуються в геодезії

Координатами називаються лінійні й кутові величини, які визначають положення точок на тій чи інший поверхні або у просторі.

Лінії і площини, відносно яких визначається положення точок, називаються відповідно осями координат і координатними площинами.

Положення точок на земній поверхні і на поверхні еліпсоїда визначається їх координатами в тій чи інший системі. Основними системами координат у геодезії є географічні і прямокутні координати. Крім того, широко використовуються полярні координати.

2.1. Географічні координати

Координатними площинами в системі географічних координат є площини екватора і меридіана, прийнятого за

28

початковий (нульовий). В цій системі положення тієї чи іншої точки, наприклад геодезичного пункта, визначається географічною широтою і географічною довготою.

Географічні координати (широти і довготи) точок на поверхні земного еліпсоїда, обчислені за даними геодезичних вимірювань, називаються геодезичними координатами.

Геодезичною широтою точки М (рис. 7) називається кут В, створений нормаллю MN до поверхні еліпсоїда в цій точці з площиною екватора.

Широти відраховуються в обидва боки від екватора і можуть набувати значення від 0 до

90o . Широти точок, розташовані на північ від екватора, називаються північними, а на південь

– південними. Геодезичною довготою точки називається двогранний

кут L, створений площиною геодезичного меридіану даної точки і площиною меридіана, прийнятого за початковий (нульовий). За початковий прийнятий Грінвіцький меридіан, який проходить через англійську обсерваторію в Гринвічі (поблизу Лондона).

Довготи відраховуються від початкового меридіана на схід і захід і відповідно називаються східними і західними.

Рахунок їх здійснюється в градусній мірі від 0 до 1800 . Широта В і довгота L повною мірою визначають поло-

ження точки М на поверхні еліпсоїда. Для визначення ж

29

точки на фізичній поверхні Землі необхідна третя координата – висота точки над рівневою поверхнею, прийнятою в даній країні за вихідну (нульову).

Система геодезичних координат є загальною для всієї поверхні земного еліпсоїда координатною системою, вона служить основою для переходу до системі лінійних поверхневих координат. У нас система геодезичних координат вихідна для переходу до системи плоских прямокутних координат у проекції Гаусса; вона широко використовується для розв’язання більшості геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.

Іншим видом географічних координат є астрономічні координати (астрономічна широта й довгота), які визначаються астрономічним методом, тобто за результатами спостережень зірок.

Астрономічною широтою точки називається кут, створений напрямком вискової лінії, яка проходить через цю точку, з площиною земного екватора. Астрономічна широта позначається літерою φ.

Астрономічною довготою називається кут, створений площиною істинного меридіана, який проходить через дану точку, і початкового (нульового) меридіана. Вона позначається літерою λ.

Площина істинного (астрономічного) меридіана – площина, яка проходить через напрямок вискової лінії в цій точці паралельно осі обертання Землі.

Відлік астрономічних широт і довгот здійснюється так само, як і геодезичних, при цьому астрономічні довготи часто виражають не в градусній мірі, а в годинній.

Отже, астрономічні широта φ і довгота λ визначають точку на поверхні геоїда, а геодезичні широта В і довгота L

– на поверхні земного еліпсоїда. В астрономічній системі координат положення площини астрономічного меридіану і астрономічна широта точки визначаються висковою ліні-

30

єю. Положення ж площини геодезичного меридіану і геодезичної широти точки визначається напрямком нормалі до поверхні еліпсоїда в цій точці.

Унаслідок нерівномірного розподілення мас Землі і відхилення поверхні геоїда в цілому від поверхні прийнятого земного еліпсоїда вискова лінія у загальному випадку не співпадає з нормаллю до еліпсоїду, вона складає з нормаллю кут, який називається кутом відхилення вискової лінії в цій точці (рис. 8). Отже, площини астрономічного і геодезичного меридіанів, в яких знаходиться вискова лінія і нормаль, теж не збіжаться, і астрономічні координати точки будуть відрізнятися від її геодезичних координат.

Рис. 8. Відхилення вискової лінії в точці М

У геодезичних роботах різницею між астрономічним і геодезичними координатами нехтують, більш того, їх визначення є предметом особливого вивчення.

Як показують дослідження, розходження між астрономічними і геодезичними координатами, зумовлені відхиленнями вискових ліній, для більшої частини території

України не перевищує 3 3,"5 , або в лінійній мірі близько