Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Practicum_1_vv.doc

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

1.5.1. Спряжені комплексі числа

Особливу роль в розробці теорії та методів цифрової обробки сигналів відіграють спряжені комплексні числа.

Комплексне число називають комплексно спряженим до комплексного числа. Ця пара чисел є взаємно комплексно спряженими, бо.

При алгебраїчній формі комплексно спряжені числа відрізняються знаком уявної частини.

Основні властивості комплексно спряжених чисел:

, (1.52)

, (1.53)

, (1.54)

, . (1.55)

Спряжені комплексні числа зображуються такими точками, що розташовані симетрично відносно дійсної осі х (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Векторне зображення основних властивостей комплексно-спряжених чисел

Тому, згідно рис. 1.9:

. (1.55)

. (1.56)

. (1.57)

Також корисними є формули:

. (1.58)

. (1.59)

, (1.60)

бо, якщо z = x + yi, то , а .

Рис 1.9.

ри тригонометричній формі комплексного числа :

. (1.61)

При показниковій формі комплексного числа:

. (1.62)

Отже, при переході до комплексного спряженого числа в числіz, що задано в тригонометричній або показниковій формах, можна поміняти знак аргументу  на протилежний.

Важливою для нас є формула:

. (1.63)

Дійсно, з одного боку (рис. 1.10):

З іншого боку

Тому, , що відповідає формулі (1.63).

Висновки

Застосування комплексних чисел в цифровій обробці сигналів потребує різних форм запису комплексних чисел. Вказані раніше особливості комплексних чисел залежно від форми запису зведено в таблицю 1.1.

Таблиця 1.1.

Параметри комплексних чисел в залежності від форми запису

Форма параметр	Алгебраїчна	Тригонометрична	Показникова
z	x + yi
		r
Arg z			
	x  yi
Зручно здійснювати	Додавання та віднімання	Множення та ділення	Множення, ділення, диференціювання, інтегрування

1.6. Приклади

Приклад 1.1. Визначити число , де n – ціле дійсне число або нуль.

Розв’язування. Спочатку розглянемо додатні значення n. Будемо послідовно множити число і на число і:

n = 1: ;

n = 2: (по визначенню);

n = 3: ;

n = 3:

і так далі.

Результати послідовного множення на число і показані на рис. 1.11, а.

При множенні числа на уявну одиницю і число z треба повернути на кут по одиничному колу за годинниковою стрілкою.

Рис. 1.11.

Функція

Рис.1.11.

приймає лише чотири значення. Так як число z =

, то загальна формула для визначення числа при n ≥ 0 набуває вигляду:

(1.64)

де k = 0, 1, 2, ….

При збільшенні степеня на 4 число повторює своє значення. Тому, будь-яке число n ділимо на 4, тоді ціла частина від ділення є число k. Наприклад:

При n < 0 процедура аналогічна (рис. 1.11, b). Так як множення на , тобто рівносильне діленню на і, то число z треба повернути на кут за годинниковою стрілкою. Загальна формула числа при n < 0 має вигляд:

(1.65)

Наприклад:

Порівнюючи формули (1.64) та (1.65) та користуючись рис. 1.11, а та рис. 1.11, b, бачимо, що для парних n: , а для непарних n: – .

Приклад 1.2. Спростити вираз .

Розв’язування. Дії множення та піднесення до степеня комплексних чисел, що задані в алгебраїчній формі, будемо виконувати за правилами множення алгебраїчних многочленів. Спочатку кожний множник піднесемо до степеня і спростимо, а потім результати перемножимо.

Зауважимо, що будь-який проміжний результат є комплексним числом, а отже, зводиться до двочлена. Тому алгебра многочленів комплексних чисел зводиться до алгебри двочленів.

Приклад 1.3. Записати вираз в алгебраїчній формі.

Розв’язування. Помноживши чисельник та знаменник на i, одержимо:

Приклад 1.4. Записати число в алгебраїчній формі.

Розв’язування. Помножимо чисельник та знаменник на число , яке є спряженим до числа, що стоїть в знаменнику, а потім скористаємося формулою (1.54):