1.4. Тригонометрична форма комплексного числа

Користуючись формулами (1.13), можна будь-яке комплексне число, що відмінне від нуля, представити в тригонометричній формі:

z = x + yi = r cos  + i rsin  = r (cos  + i sin ). (1.23)

Таким чином, остаточно маємо:

(1.24)

Якщо  таке, що – <  ≤ , то  = arg z.

• Тригонометрична форма (1.24) комплексного числа має такі особливості:

• множник перед дужками як радіус обов’язково додатне число (r > 0);

• алгебраїчне значення аргументу  однакове за величиною та знаками для синусу і косинусу;

• доданки cos   та sin  записуються зі знаком плюс, хоча можуть бути додатні або від’ємні в залежності від значення .

• Тригонометрична форма комплексного числа зручна для здійснення множення та ділення комплексних чисел, піднесення до степеня n та добування кореня степеня n комплексного числа.

1.4.1. Множення та ділення комплексних чисел

Здійснимо множення двох комплексних чисел, що задані в тригонометричній формі, як множення двох многочленів:

Отже,

(1.25)

Або

(1.26)

• Модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку їх модулів, а аргумент – сумі їх аргументів (рис. 1.6, а).

• Здійснивши аналогічним чином ділення комплексного числа на комплексне число за умов що≠ 0, одержимо:

(1.27)

Тобто

(1.28)

• Модуль частки від ділення комплексного числа на комплексне число дорівнює частці їх модулів, а аргумент – різниці аргументів діленого і дільника (рис. 1.6, b).

y

y

z = z₁z₂

z₁

z₂

₁+₂

і

і

z₂

₁

z = 

₂

z₁

₂

₁–₂

₁

x

x

0

0

a)

b)

Рис. 1.6. Множення та ділення комплексних чисел

Рис. 1.5

• Тригонометрична форма дозволяє досить легко здійснювати множення та ділення чисел.

• Так як , то множення числа z на і зводиться до повороту вектора z на кут π/2 проти годинникової стрілки, а ділення z на і зводиться до повороту вектора z на кут π/2 за годинниковою стрілкою.

1.4.2. Формула Муавра

Піднесення дійсного числа до степеня n є частковим випадком дії множення:

(1.29)

При має місце формула Муавра:

(cos  + i∙sin )ⁿ = cos n + isin n. (1.30)

Формули (1.29) та (1.30) вірні і для від’ємних n, так як .

1.4.3. Добування кореня степеня n

Добути корінь степеня n із числа z означає знайти таке число , для якого (z ≠ 0), тобто

(1.31)

Тут враховано те, що на площині z аргумент зображується з точністю до цілого числа повних обертів 2πk. Тому, при добуванні кореня цей доданок дозволяє не втратити жодного розв’язку, тобто кореня.

Якщо комплексні числа z та w записати в тригонометричній формі:

z = r (cos  + i sin ), (1.32)

w =  (cos  + i sin ), (1.33)

то згідно (1.31)

, (1.34)

. (1.35)

Отже, модулі всіх коренів однакові. Значення фазового кута залежить від значення k:

, . (1.36)

При k ≥ n значення , а отже і значення коренів повторюються з точністю до цілого числа повних обретів. Корені з крокомрівномірно розташовані по колу радіуса. Початкове значення аргументу кореня при k = 0 дорівнює . Звідси має місце наступний алгоритм знаходження коренів (рис. 1.7):

1. Визначаються модуль та аргумент числа z: .

2. Знаходиться модуль кожного кореня: .

3. Знаходиться аргумент нульового кореня:

4. Визначається кутовий крок коренів:

5. Визначається аргумент кожного кореня:

, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

6. Визначаються в тригонометричній формі всі n корені числа z:

, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Рис. 1.7. Добування кореня степеня n

Зауважимо, що:

• операція як послідовність операцій піднесення до степеня m та операцій добування кореня степеня n визначена для будь-яких цілих значень m i n;

• у виразі дріб m/n не скорочується, навіть, якщо m i n мають спільні множники. Вираз має n коренів. Наприклад, вираз має чотири корені, а вираз  два корені.