6.8.2. Число зіткнень частинки за одиницю часу

Число співударянь частинки із середньою швидкістю V при концентрації n за 1с дорівнює

.

Щоб одержати цей вираз, розглянемо траєкторію, що її опише частинка ідеального газу за часdt. Вона являє собою деяку ламану лінію, у вузлах якої відбулися зіткнення з іншими частинками. ЇЇ довжина становить dL=Vdt. Побудуємо на цій ламаній, як на осі, циліндр з основою, рівною ефективному перерізу (див.Мал.51)). Приймаючи до уваги властивість ефективного перерізу, можна стверджувати, що розглядувана частинка обов’язково співудариться з усіма нерухомими частинками

,

які знаходяться в циліндрі. Але частинки рухаються і тому замість швидкості V потрібно взяти відносну середню квадратичну швидкість V_в, яку розрахуємо так

.

В записаному виразі  вектор відносної швидкості двох частинок. З достатньою точністю можна покласти, що , а тому, що кутміж векторами змінюється в межах від 0⁰ до 180⁰ і . В результаті маємо, що і число співударянь за час dt дорівнює , а число співударянь за одиницю часу дорівнює

.

За нормальних умов частинка атмосфери з здійснює

Z=3,110¹⁰ с^-1.

6.8.3. Середня довжина вільного пробігу

Середня довжина вільного пробігу  є середня відстань між двома послідовними співударяннями частинок, що рухаються рівномірно й прямолінійно. Величину  можна обчислити, виходячи з того, що на довжині траєкторії dL=Vdt відбувається Zdt співударянь і тоді середня довжина вільного пробігу між співударяннями становить

.

Приймаючи до уваги, що , можна записати

.

За нормальних умов частинка атмосфери з має.

6.9. Розподіл Максвелла для частинок за швидкостями

6.9.1. Закон розподілу

частинок ідеального газу за швидкостями визначає їх стаціонарний розподіл за швидкостями в умовах термодинамічної рівноваги й відсутності зовнішнього силового поля.

Розподіл частинок ідеального газу за абсолютними значеннями швидкостей V дослідив Максвелл. Він визначив, що число частинок, швидкості яких лежать в інтервалі (V; V + dV) представляється виразом

,

де загальне число частинок, а їх частка

(1)

є ймовірністю такого розподілу із густиною

. (2)

Вцьому виразі m маса частинки, k  стала Больцмана, Т  температура. Стала нормування А визначається так

. (3)

Залежність (2) представлена на Мал.52.

Закон Максвелла можна застосовувати і для скінчених малих величин та

. (4)

6.9.2. Максимум густини розподілу

f(V) знаходиться в точці V=V_нв (див.Мал.5), яка називається найбільш імовірною швидкістю і

.

Дійсно,

.

Прирівняємо похідну 0 і знайдемо точку екстремуму

,

що й треба було довести.

Вираз значно спрощується, якщо ввести змінну

, тоді,,

,.

Графік густини розподілу f(u) по u представлено на Мал.6. Максимум густини такого розподілу приходиться на u=1.

6.9.3. Середня арифметична швидкість

визначається як

,

для дискретних значень V та

,

для неперервних значень V.

Розрахунки середньої швидкості частинок ідеального газу за розподілом Максвелла дають

= 1. 60. (1)

Дійсно,

Зробимо заміну змінної

,,

i тепер

. (2)

Ми проінтегрували

по частинам:

=+=0-=1.

6.9. 4. Середня квадратична швидкість визначається як

с = , (1)

де . Розрахуємо (1) за допомогою теореми Больцмана про рівнорозподіл енергії за ступенями свободи для вільної частинки. Згідно цієї теореми середня кінетична енергія теплового руху частинки з масоюm дорівнює

і звідси

с = .