Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
matan_shpori (3).doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
108.54 Кб
Скачать

12. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійним однорідним рівнянням другого порядку називається рівняння виду a(x)y’’+b(x)y’+c(x)y=f(x)=0. Якщо f(x)< >0, то рівняння називається не однорідним лінійним рівнянням. Розв'язати лінійне однорідне рівняння 2-го порядку можна методом Ейлера, або методом розділення змінних. Метод Ейлера Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку py’+gy=0(85), де р, q —дійсні числа.Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді y=ekx(86), де k — стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (86) в рівняння (85), дістанемо ekx (pk –q) = 0. Оскільки ekx ≠ 0, то pk + q = 0(87). Отже, якщо k буде коренем рівняння (87), то функція (86) буде розв'язком рівняння (85). Рівняння (87) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (85).

Метод розділення змінних: рівняння виду y'=f(x)φ(y) де f(x) і φ(y) – задані і неперервні на деякому інтервалі функції. Щоб розв'язати рівняння треба відокремити змінні. Для цього замінимо y' на dy/dx, поділимо обидві частини рівняння на φ(y) і помножимо на dx, тоді рівняння набуде вигляду dy/φ(y)=f(x)dx. Таке рівняння називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними. Далі, щоб розв'язати рівняння нам потрібно проінтегрувати праву і ліву частини.

13. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільної сталої.

Неоднорідним лінійним рівнянням другого порядку називається рівняння виду a(x)y’’+b(x)y’+c(x)y=f(x)< >0.Загальний розв’язок складається з 2 доданків: y=yодн(x)+yчаст(x). Розв’язати дане рівняння можна методом варіації довільної сталої. Для того, щоб застосовувати метод варіації довільної сталої необхідно спочатку привести рівняння до вигляду y(x)=C1y1(x)+C2y2(x). Для цього необхідно в правій частині, замість f(x), написати 0(Замість неоднорідного лінійного рівняння написати однорідне), розв’язати однорідне лінійне рівняння методом розділення змінних, або методом Ейлера. Для знаходження C1 і C2 необхідно знайти y, y’, y’’. y= C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x). y’= C1(x)y’1(x)+C2(x)y’2(x). y’’= C’1(x)y’1(x)+ C1(x)y’’1(x)+C’2(x)y’2(x)+ C2(x)y’’2(x). Підставивши y, y’, y’’ в рівняння знайдемо C1 і C2. Потім залишиться підставити C1 і C2 в загальний розв'язок.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]