12. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійним однорідним рівнянням другого порядку називається рівняння виду a(x)y’’+b(x)y’+c(x)y=f(x)=0. Якщо f(x)< >0, то рівняння називається не однорідним лінійним рівнянням. Розв'язати лінійне однорідне рівняння 2-го порядку можна методом Ейлера, або методом розділення змінних. Метод Ейлера Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку py’+gy=0(85), де р, q —дійсні числа.Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді y=e^kx(86), де k — стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (86) в рівняння (85), дістанемо e^kx (pk –q) = 0. Оскільки e^kx ≠ 0, то pk + q = 0(87). Отже, якщо k буде коренем рівняння (87), то функція (86) буде розв'язком рівняння (85). Рівняння (87) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (85).

Метод розділення змінних: рівняння виду y'=f(x)φ(y) де f(x) і φ(y) – задані і неперервні на деякому інтервалі функції. Щоб розв'язати рівняння треба відокремити змінні. Для цього замінимо y' на dy/dx, поділимо обидві частини рівняння на φ(y) і помножимо на dx, тоді рівняння набуде вигляду dy/φ(y)=f(x)dx. Таке рівняння називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними. Далі, щоб розв'язати рівняння нам потрібно проінтегрувати праву і ліву частини.

13. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільної сталої.

Неоднорідним лінійним рівнянням другого порядку називається рівняння виду a(x)y’’+b(x)y’+c(x)y=f(x)< >0.Загальний розв’язок складається з 2 доданків: y=y_одн(x)+y_част(x). Розв’язати дане рівняння можна методом варіації довільної сталої. Для того, щоб застосовувати метод варіації довільної сталої необхідно спочатку привести рівняння до вигляду y(x)=C₁y₁(x)+C₂y₂(x). Для цього необхідно в правій частині, замість f(x), написати 0(Замість неоднорідного лінійного рівняння написати однорідне), розв’язати однорідне лінійне рівняння методом розділення змінних, або методом Ейлера. Для знаходження C₁ і C₂ необхідно знайти y, y’, y’’. y= C₁(x)y₁(x)+C₂(x)y₂(x). y’= C₁(x)y’₁(x)+C₂(x)y’₂(x). y’’= C’₁(x)y’₁(x)+ C₁(x)y’’₁(x)+C’₂(x)y’₂(x)+ C₂(x)y’’₂(x). Підставивши y, y’, y’’ в рівняння знайдемо C₁ і C₂. Потім залишиться підставити C₁ і C₂ в загальний розв'язок.