5. Дотична площина та нормаль. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних.

Нехай задано поверхню F(x,y,z). Точка М₀(х₀ ,y₀,z₀) належать цій поверхні і функція F(x,y,z) дифиренційована в точці M₀, причому не всі частинні похідні в точці M₀ дорівнюють нулю, тобто (F’_x(M₀))²+(F’_y(M₀))² +(F’_z(M₀))² < > 0. Розглянемо довільну криву L, яка проходить через точку M₀, лежить на поверхні F(x,y,z) і задається рівнянням x=x(t), y=y(t), z=z(t), де точці M₀ відповідає параметр t₀. Оскільки крива лежить на поверхні, то координати її точок задовольняють рівняння F(x,y,z): F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Диференціюючи це рівняння маємо

(1)

. Ця рівність показує, що вектори n=(F’_x(M₀); F’_y(M₀); F’_z(M₀)), s=(x’(t₀); y’(t₀); z’(t₀)) ортогональні, причому другий з них є напрямним вектором дотичної до кривої L у точці M₀. Крім того з рівняння (1) випливає, що дотичні до всіх кривих, які проходять через точку M₀ і лежать на поверхні F(x,y,z), ортогональні до одного й того самого вектора n. Тоді всі ці дотичні лежать в одній і тій самій площині, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці M₀. Рівняння дотичної площини має вигляд: F’_x(M₀)(x-x₀)+ F’_y(M₀)(y-y₀)+ F’_z(M₀)(z-z₀)=0. Нормаллю до поверхні в точці M₀ називають пряму, що проходить через точку M₀ перпендикулярно до дотичної площини в цій точці. Канонічне рівняння нормалі має вигляд:

6. Похідна за напрямом та її зв'язок з градієнтом.

Якшо існує границя відношення Δlu/Δl(де Δlu – це приріст функції u(x, y, z) при переході від точки M(початку вектора l) до точки M₁(якась точка на векторі l) в напрямку вектора l. А Δl – це довжина від точки M до точки M₁) при Δl→0, то цю границю називають похідною функції u(x, y, z) в точці M(x, y, z) за напрямом вектора l і позначають дu/дl, тобто . Формула для обчислення похідної за напрямом:

Зв’язок похідної за напрямом з градієнтом:

1. Похідна функції u(x, y, z) в точці M(x, y, z) за напрямом вектора l дорівнює проекції графієнта функції в цій точці на вектор l, тобто дu/дl=пр._l grad u.

2. Похідна в даній точці за напрямом l має найбільше значення, якщо напрям вектора l збігається з напрямом градієнта.

3. Похідна за напрямом вектора, перпендикулярного до нрадієнта, дорівнює нулю.

4. Вектор-градієнт у кожній точці поля u(x, y, z) перпендикулярний до поверхні рівня, яка проходить через цю точку.

7. Формула Тейлора для функції кількох змінних та її застосування.

Формула Тейлора для функції двох змінних:

, де .Цю формулу використовують для наближених обчислень функції з різним значеннямn. Абсолютну похибку цих наближених рівностей оцінюють через залишковий член R. При x₀=0 формула Тейлора набуває вигляду f(x)=f(0)+(f’(0)/1!)x+(f’’(0)/2!)x²+…+(f⁽ⁿ⁾(0)/n!)xⁿ+(f⁽ⁿ⁺¹⁾(Ɵx)/(n+1)!)xⁿ⁺¹, де 0<Ɵ<1 її називають формулою Маклорена.

8. Локальні та умовні екстремуми функції кількох змінних.

Теорема1(необхідна умова): Функція кількох змінних має максимум або мінімум в заданій точці, якщо всі її часткові похідні в цій точці дорівнюють 0. (f(x,y)має екстремум, якщо f’_x=0 і f’_y=0). Приклад: z=x²+y², z’_x=2x, z’_y=2y, (x₀,y₀)=(0,0).

Теорема2(достатня умова): Для того, щоб функція в заданій точці мала екстремум достатньо, щоб визначник виду був додатнім. При цьому, якщо f’’_xx >0, то підозрілива точка є мінімумом, а якщо <0, то максимумом.Приклад продовжуємо z’’_xx=2, z’’_yy=2, z’’_xy=0, z’’_yx=0. визначник =4>0 значить екстремум існує і цей екстремум – мінімум.

Умлвний екстремум: Нехай задана функція 2-ох змінних z=f(x,y) і маємо додаткову умлву для x,y g(x,y)=0. Умовним екстремумом називають точку (x,y) для якої виконується додаткова умова g(x,y)=0. Якщо додаткову умову для виключення однієї змінної використати не вдається, то застосовують метод функції Лагранжа.