9. Загальне поняття диференціального рівняння першого порядку. Задача Коші. Рівняння, не розв'язані відносно похідної.

Звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку є рівняння виду: F(x,y,y’,y’’,…,y⁽ⁿ⁾)=0. Найвищий порядок похідної від шуканої функції, що входить в диференціальне рівняння, називається його порядком. Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд: F(x,y,y’). Якщо це рівняння можна розв’язати відносно похідної то можна записати його у вигляді dy/dx=f(x,y). В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв’язане відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування та єдності розв’язку диференціального рівняння. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція виду y=φ(x,C).

Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові, називається задачею Коші.

Теорема Коші(про існування та єдиність розв'язку диференціального рівняння першого порядку): Якщо в рівнянні першого порядку, розв'язаного відносно похідної, функція f(x,y) неперервна разом зі своїми похідними, то існує єдиний розв'язок задача Коші. Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної, має такий вигляд Розглядають деякі інтегровані в квадратурах класи таких рівнянь(їх всього 3): 1. рівняння залежить лише від y’. 2. рівняння не залежить ві х. 3. рівняння не залежить від y (рівняння Лагрвнжа). Рівняння Лагранжа: y=xφ(y’)+ψ(y’). Якщо φ(y’)= y’, то рівняння Лагранжа набуває вигляду y=xy’+ψ(y’) і називається рівнянням Клеро.

10. Наближене розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку.

Метод розділення змінних: рівняння виду y'=f(x)φ(y) де f(x) і φ(y) – задані і неперервні на деякому інтервалі функції. Щоб розв'язати рівняння треба відокремити змінні. Для цього замінимо y' на dy/dx, поділимо обидві частини рівняння на φ(y) і помножимо на dx, тоді рівняння набуде вигляду dy/φ(y)=f(x)dx. Таке рівняння називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними. Далі, щоб розв'язати рівняння нам потрібно проінтегрувати праву і ліву частини.

Метод Ейлера Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку py’+gy=0(85), де р, q —дійсні числа.Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді y=e^kx(86), де k — стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (86) в рівняння (85), дістанемо e^kx (pk –q) = 0. Оскільки e^kx ≠ 0, то pk + q = 0(87). Отже, якщо k буде коренем рівняння (87), то функція (86) буде розв'язком рівняння (85). Рівняння (87) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (85).

11. Задача Коші для рівняння вищих порядків. Рівняння, які інтегруються в квадратурах та допускають знижений порядок.

Диференціальним рівнянням n-го порядку називається рівняння виду: y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y’, …, y^(n-1)). Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого полядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами. Для загального диф. Рівняння n-го порядку ця задача ставиться так: серед усіх розв'язків данного рівняння знайти такий розв'язок y=y(x), x є (a,b), який при x=x₀ є (a,b) задовольняє такі умови: y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y’₀, …, y^(n-1)(x₀)=y^(n-1)₀. Ці умови називаються початковими умовами. Теорема: Якщо функція f(x, y, y’, …, y^(n-1)) і її частинні похідні по аргументам y, y', …, y^(n-1) неперервні в деякій відкритій області, то для всякої точки (x₀, y₀, y’₀, …, y^(n-1)₀) існує єдиний розв’язок y=y(x), який задовольняє початкові умови.

Рівняння n-го порядку інтегруються в квадратурах дуже рідко. Розглянемо деякі класи таких рівнянь:1. Рівняння виду y⁽ⁿ⁾=f(x). Інтегруючи дістанемо: y^(n-1)=ʃf(x)dx+C₁. 2. Розглянемо рівняння виду F(x,y⁽ⁿ⁾)=0. Інтегруючи дістанемо: d(y^(n-1))= ʃtf’(t)dt+C₁.

Одним із методів розв’язування диф. Рівнянь вищих порядків є метод пониження порядку. Суть його полягає в тому, що за допомогою відповідної заміни змінної дане диф. Рівняння зводиться до рівняння нижчого порядку. Розглянемо 2 типи диф. Рівнянь, як допускають пониження порядку: 1. Рівняння виду F(x, y^(k), y^(k+1), …, y⁽ⁿ⁾)=0. Порядок даної функції можна понизити, якщо взяти замість y^(k)=z, тоді y^(k+1)=z’, і так далі. Отримаємо рівняння виду: F(x, z, z’, …, z^(n-k))=0. 2. Диф. Рівняння виду F(y, y’, …, y⁽ⁿ⁾)=0. Дане рівняння можна звести до рівняння виду F(x, z, z’, …, z^(n-1))=0.