7. Оцінка відхилення емпіричного розподілу від нормального.

Для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального використовують різні характеристики. Зокрема, до них відносяться асиметрія і ексцес.

Асиметрія емпіричного розподілу визначається за формулою[1, cт.186]:

, (8.1)

де m₃ – центральний емпіричний момент третього порядку,

σ_в – вибіркове середнє квадратичне відхилення.

Ексцес емпіричного розподілу визначається за формулою

(8.2)

де m₄ – центральний емпіричний момент четвертого порядку.

Моменти m₃ і m₄ обчислимо методом моментів за формулами:

(8.3)

(8.4)

де М_j – умовний момент k-го порядку, h – довжина інтервалу.

Умовні моменти будемо обчислювати за формулою:

(8.5)

Вибірка Х.

Скористаємось вже обрахованими раніше значеннями умовних варіант.

Отже нехай для вибірки Х: h = 0,75, с = -0,095. Тоді:

від	до	уі	ui	ni	niui	niui2	niui3	niui4	ni(ui+1)4
-2,526	-1,776	-2,15100	-3	2	-6	18	-54	162	32
-1,776	-1,03	-1,40300	-2	5	-10	20	-40	80	5
-1,03	-0,28	-0,65500	-1	11	-11	11	-11	11	0
-0,28	0,47	0,09500	0	18	0	0	0	0	18
0,47	1,22	0,84500	1	9	9	9	9	9	144
1,22	1,97	1,59500	2	3	6	12	24	48	243
1,97	2,72	2,34500	3	2	6	18	54	162	512
				50	-6	88	-18	472	954

Контрольна сума: Σn_iu_i⁴ +4Σn_iu_i³ + 6Σn_iu_i² + 4Σn_iu_i + n = 954

де n_i – сума частот і-го інтервалу, u_i – умовні варіанти

Умовні моменти першого та другого порядків другої вибірки були знайдені раніше : , .

Обрахуємо умовні моменти третього та четвертого порядків за формулою (8.5):

Знайдемо центральні емпіричні моменти третього та четвертого порядків за формулами (8.3) і (8.4):

=0,114

=2,98

Знайдемо асиметрію і ексцес за формулами (8.1) і (8.2), вибіркові середні квадратичні знайдені раніше 0,96

. Обраховуємо для вибірки X:

=0,13

=0,48

Аналогічно працюємо і з вибіркою Y. Скористаємось вже обрахованими раніше значеннями умовних варіант та з таблиці №8. Отже для вибірки Y: h=0,45 с= -0,268

Від	до	уі	vi	сума частот n	nivi	nivi2	nivi3	nivi4	ni(vi+1)4
-1,618	-1,168	-1,39300	-3	4	-12	36	-108	324	64
-1,168	-0,718	-0,94300	-2	2	-4	8	-16	32	2
-0,718	-0,268	-0,49300	-1	12	-12	12	-12	12	0
-0,268	0,182	-0,04300	0	10	0	0	0	0	10
0,182	0,632	0,40700	1	6	6	6	6	6	96
0,632	1,082	0,85700	2	12	24	48	96	192	972
1,082	1,532	1,30700	3	4	12	36	108	324	1024
				50	14	146	74	890	2168

Контрольна сума: Σn_iu_i⁴ +4Σn_iu_i³ + 6Σn_iu_i² + 4Σn_iu_i + n = 2168

Умовні моменти першого та другого порядків другої вибірки були найдені раніше : , .

Обрахуємо умовні моменти третього та четвертого порядків за формулою (8.5):

Знайдемо центральні емпіричні моменти третього та четвертого порядків за формулами (8.3) і (8.4):

= -0,085

= 0,718

Знайдемо асиметрію і ексцес за формулами (8.1) і (8.2), вибіркові середні квадратичні знайдені раніше 0,96

. Обраховуємо для вибірки X:

= -0,19

= -0,91

Висновок: В даному розділі ми обрахували асиметрію і ексцес для вибірок X та Y .

Асиметрія оцінює видовженість однієї із віток кривої теоретичного розподілу відносно математичного сподівання. Ексцес оцінює „крутизну” кривої теоретичного розподілу відносно нормальної.

7. Представимо математичну модель вибірок за допомогою MatCad2001

Загальна формула:

;

Для вибірки Х:

Рис.5

Для вибірки У:

Рис.6

7. Висновки:

Після виконання всих поставлених завдань, можна зробити наступні висновки:

Матиматичне сподівання відхилення вибірок становить

для вибірки Х : 0,012

для вибірки Y : 0,031

Середнє квадратичне відхилення

вибірки Х : 0,96

вибірки Y : 0,77

Дисперсія вибірки Х : D_в(X) = 0,925

; вибірки Y : = 0,586.

Дані спостережень обох вибірок узгоджуються з гіпотезою про нормальний розподіл генеральних сукупностей.

Генеральні дисперсії двох вибірок відрізняються не значно.

Порівнюючи графіки нормальної кривої і полігону частот можна зробити висновок, що побудована теоретична крива за даними вибірки X (рис. №3) і теоретична крива за даними вибірки Y (рис.№4) відображають дані спостережень досить точно.

Для вибірки Х з надійністю 0,95 невідомий параметр a знаходиться в довірчому інтервалі

Для вибірки Y з надійністю 0,95 невідомий параметр a знаходиться в довірчому інтервалі .

Обчисливши спостережене значення критерію для обох вибірок, ми дійшли висновку, що немає підстав відхилити гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей Х і У.

34 Стрижак Юлія КЕ – 091