9. Свойства пф. Классификация типовых пф.

Описание связей между изображениями по Лапласу входных U₁(s), I₁(s) и выходных U₂(s), I₂(s) величин операторными соотношениями привело нас к наиболее общей форме представления входных и передаточных функций в линейных электрических цепях:

; ;;.

Функции Z(s), Y(s), K(s) — функции цепи — обладают рядом общих свойств. Изучение этих свойств необходимо, в частности, при решении задач синтеза цепей: определении структуры и параметров ее элементов по заданным входным и выходным токам и напряжениям. Это необходимо, например, при проектировании систем автоматики и связи, в которых нужно обеспечить заданный характер преобразования сигнала. Типичной в этом отношении является задача синтеза частотного фильтра. В дальнейшем будем использовать для входных и передаточных функций общее обозначение F(s), рассматривая эту величниу как функцию комплексного аргумента s =  + j.

Вещественность. Параметры элементов цепи R, L, C входят в алгебраические уравнения, составленные для операторных изображений токов и напряжений на базе законов Кирхгофа, контурных или узловых уравнений, в комбинациях R, sL, 1/sC или 1/R, 1/sL, sC. Поэтому любая функция цепи, определяемая отношением изображений двух токов или напряжений, выражается рациональной дробью аргумента s:

.

Полином в знаменателе F(s) представляет характеристическое уравнение цепи. Он представляет собой главный определитель системы узловых или контурных уравнений _Y или _Z, в зависимости от того, какой из этих методов используют для описания цепи. 

Коэффициенты полиномов числителя b_k и знаменателя a_k дроби F(s), образованные произведениями сопротивлений, емкостей или индуктивностей элементов цепи, вещественны. Эти полиномы также можно представить в факторизованной форме

,

(22.1)

где — корни числителя — нулиF(s); s_0k — корни знаменателя — полюсы F (s).

Так как коэффициенты a_k и b_k являются вещественными, то при вещественных значениях оператора s функция цепи F(s) принимает вещественные значения

при .

(22.2)

Отсюда, в частности, следует, что комплексные нули s'_0k также, как и полюсы s_0k, — комплексно сопряженные.

10. Анализ систем в частотной области.

Изображение полюсов и нулей функции цепи F(s) на комплексной плоскости позволяет наглядно проследить за характером частотных зависимостей модуля и аргумента комплексной функцииF(j) — ее амплитудно- и фазочастотной характеристиками —  во всем частотном диапазоне  (от нуля до бесконечности). Отдельные сомножители полиномов числителя и знаменателя F(s) (22.1) (s – s_0k) и (s – s'_0k) при s = j изображаются на комплексной плоскости векторами, направленными из точек расположения полюсов и нулей в точку мнимой оси, соответствующую данной частоте (рис. 22.3).

Модуль функции F(j) представляется отношением произведения модулей векторов j – s'_0k, отвечающих нулям функции F(s), к произведению модулей векторов j – s_0k, соответствующих ее полюсам. Аргумент F(j) аналогично определяется разностью суммы аргументов '_k векторов j – s'_0k и суммы аргументов _k векторов j – s_0k (см. рис. 22.3).

Так, вещественным полюсам и нулям с ростом частоты соответствует монотонное увеличение модулей отдельных сомножителей  j – s_0k и монотонное увеличение аргумента от 0 при  = 0 до /2 при = . Для комплексного полюса или нуля s_0k = _0k + j_0k изменение модуля сомножителя имеет немонотонный характер — в точке оси  = _0k, ближайшей к данной особой точке, модуль принимает минимальное значение, равное _0k. Это определяет заметные изменения модуля и фазы вблизи соответствующего полюса и нуля. Чем ближе полюс или нуль к мнимой оси, тем резче выражены изменения амплитудно- и фазочастотной характеристики в его окрестности.

Передаточные функции цепей с симметричным относительно мнимой оси расположением всех нулей и полюсов (например, рис. 22.2, б) имеют постоянный модуль при всех значениях .

Рассмотрим два четырехполюсника, изображенных на рис. 22.4, а,б.

Первый представляет собой делитель напряжения, в плечах которого включены сопротивления и Z₂ = R. Поэтому его передаточная функция равна

.

Передаточную функцию по напряжению второго четырехполюсника найдем как разность падений напряжения на плечах моста, каждая из параллельных ветвей которого также является делителем напряжения U₁:

.

Сопоставляя характер расположения полюсов и нулей двух цепей (рис. 22.4, в,г), приходим к выводу, что при одинаковых амплитудно-частотных характеристиках они обладают различными фазочастотными характеристиками.