2.3. Транспортна задача. Постановка, методи розв’язання та аналіз

Транспортна задача належить до спеціального класу розподільчих ЗЛП. Нехай треба перевезти однорідний вантаж з m пунктів відправлення А_i в n пунктів призначення B_j. Відома кількість вантажу a_i (запаси), що знаходиться у i-го постачальника (постійно), а також обсяги потреб в ньому b_j (заявки) j-го споживача. Відомо витрати на перевозку одиниці вантажу від i-го постачальника до j-го споживача – тариф – с_ij. Тарифи записують в верхньому лівому куті кожної клітини таблиці. Необхідно розподілити вантаж таким чином, щоб витрати на його перевозку були мінімальними.

З умов задачі получимо наступну модель лінійного програмування:

(2.3.1)

(2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)

Система обмежень (2.3.1) говорить про те, що вантаж з кожного пункту відправлення має бути вивезений. Система обмежень (2.3.2) говорить про те, що потреба у вантажі в кожному пункті призначення має бути задоволена. Система обмежень (2.3.3) говорить про те, що по будь-якому маршруту або перевозиться деяка кількість вантажу, або не. Цільова функція (2.3.4) мінімізує сукупні транспортні витрати на перевезення всіх партій вантажів зі всіх пунктів відправлення у всі пункти призначення.

Транспортна задача називається закритою (збалансованою), якщо сумарна наявність вантажу співпадає з сумарною потребою (є баланс між попитом і пропозицією), тобто виконується рівність . В випадку відсутності балансу між попитом і пропозицією транспортна задача називаєтся відкритою.

Розв’язування задач с відкритою моделлю зводиться до розв’язування задач с закритою моделлю.

Опорним планом транспортної задачі називається невід’ємне рішення системи обмежень (2.3.1)-(2.3.3), яке записується у вигляді матриці . Оптимальним планом транспортної задачі називається оптимальний план транспортної задачі, при якому цільова функція (2.3.4) достигає мінімального значення.

Теорема. Необхідною и достатньою умовою існування рішення транспортної задачі є її збалансованість, тобто транспортна задача повинна бути закрытою.

Транспортну задачу можна вирішувати симплекс-методом, проте при цьому виходить громіздка система лінійних рівнянь з великим числом невідомих, що ускладнює обчислення. Розгледимо один з методів рішення транспортної задачі – метод потенціалів, який представляє собою ітеративний процес, на кожному кроці якого розглядується деякий поточний план, перевіряється його оптимальність, і при необхідності визначається перехід до кращого базисного плану.

Алгоритм методу потенціалів складається з наступних етапів:

1. Визначення типа транспортної задачі (відкрита або закрита).

2. Побудова першого опорного плану транспортної задачі.

3. Перевірка плану транспортної задачі на оптимальність.

4. Якщо умова оптимальності виконується, то маємо оптимальний план транспортної задачі. Якщо умова оптимальності не виконується, необхідно перейти до наступного опорного плану.

5. Перевірка нового плану транспортної задачі на оптимальність, тобто повторення 3 і так далі

Для побудови початкового опорного плану транспортної задачі використовується декілька методів.

- метод північно-західного кута

Заповнення кліток таблиці починається з верхньої лівої клітини. Розмір постачання в цю клітку визначається меншою з величин (a₁, b₁). Звідси буде визначена величина недопостачі продукції першому споживачу або залишок продукції у першого постачальника. Залежно від цього заповнюється клітка справа (A₁, B₂) або знизу (A₂, B₁), для якої порівнюється залишок продукції постачальника з величиною b₂ або недопостачі з величиною a₂. Кожного разу при порівнянні у відповідну клітку заноситься менша з двох величин. Процес розподілу продовжується до тих пір, поки не буде розподілена продукція всіх постачальників і задоволені потреби всіх споживачів.

- метод мінімального елементу

Спочатку заповнюють ті клітини таблиці, у яких вартості перевезень найменші. Такі дії повторюють до тих пір, поки не буде розподілений весь вантаж між пунктами призначення.

- метод подвійної переваги

Спочатку відзначають клітки з мінімальними тарифами по рядках і по стовпцях. У двічі відмічених клітках розміщують найбільшу величину постачання, далі розподіляють продукцію по клітинах, що відмічені один раз, потім в невідмічених з найменшими тарифами.

- метод Фогеля

На кожному кроці визначають штраф – різниця між двома найменшими тарифами в кожному рядку і кожному стовпці таблиці. Ці штрафи записують в спеціально відведених місцях таблиці. Серед всіх штрафів вибирають найбільший і у відповідному стовпці або рядку заповнюють клітку з найменшим тарифом. Якщо однакових найбільших штрафів декілька, то вибирають будь-який. Коли залишається незаповненим один стовпець або рядок, то обчислення штрафів зупиняють, а таблицю заповнюють методом мінімального елементу.

Після побудови початкового опорного плану транспортної задачі одним з методів, що розглянуто, в таблиці число заповнених клітин має бути рівне т + п – 1.

Опорний план називається невиродженим, якщо число заповнених клітин дорівнює т + п – 1. У випадку, якщо заповнених клітин менше, то опорний план називається вирожденим.

Зауваження.

• Якщо число заповнених кліток більше т + п – 1, початковий план побудовано не правильно і він не є опорним.

• Число заповнених кліток має бути рівне т + п – 1. Якщо заповнені клітин менше, то потрібно заповнити порожні клітини нулями. Нулів беруть стільки, скільки не дістає постачань. Їх записують в клітини з найменшими тарифами, при цьому не можна допускати утворення замкнутого циклу (ламаної лінії з прямими кутами, в кутах якої містяться заповнені клітки).

Для перевірки опорного плану на оптимальність використовують метод потенціалів, суть якого полягає в наступному.

Кожному рядку таблиці поставимо у відповідність потенціал u_i, кожному стовпцю – потенціал v_j. Потенціал u₁ завжди беруть рівним нулю, тобто u₁ = 0. Сума потенціалів для заповненої клітини (A_i, B_j) повинна дорівнювати тарифу c_ij:

u_i + v_j = c_ij . (2.3.5)

Потенціали u_i записуємо в стовпці справа від таблиця, потенціали v_j записуємо в рядку внизу таблиці.

Для незаповнених клітин знаходимо оцінки оптимальності як суму потенціалів мінус тариф за формулою (2.3.6):

= u_i + v_j – c_ij . (2.3.6)

Оцінки оптимальності записуємо в скобках в левом нижньому куті кожної незаповненої клітини таблиці. Якщо значення < 0, то записуємо (–).