2. Елементи нелінійного програмування та розподілюванні задачі
2.1. Дробово-лінійне програмування
Якщо в задачі з лінійними обмеженнями задана дробово-лінійна цільова функція, то така задача може бути перетворена до традиційного вигляду шляхом арифметичних перетворень. Перетворена задача може бути розв’язана симплексним методом, а знайдене рішення трансформоване в рішення вихідної задачі дробово-лінійного програмування. Всі етапи алгоритму проілюструємо на конкретному прикладі.
Приклад 2.1.1. Розв’язати задачу дробово-лінійного програмування
(2.1.1)
(2.1.2)
Розв’язування. Систему обмежень (2.1.1) приведемо до канонічного виду:
(2.1.3)
де х1, х2 – основні змінні, х3, х4, х5 – додаткові змінні; х6, х7 – штучні змінні.
Знаменник
цільової функції (2.1.2) позначимо через
,
тоді
або
(2.1.4)
Рівність (2.1.4) є новим додатковим обмеженням, яке слід ввести в систему (2.1.3).
В цьому випадку цільова функція (2.1.2) прийме вид:
.
Всі
обмеження системи (2.1.3) помножимо на
і введемо в неї додаткове обмеження
(2.1.4), отримаємо систему (2.1.5):
(2.1.5)
Введемо наступні позначення (2.1.6)
,
,
,
,
,
,
.
(2.1.6)
С
урахуванням позначень (2.16) слід
впорядкувати систему (2.1.5), переносячи
з правої частині доданки, що містять
.
Також, для утворення одиничного базису,
в додаткове обмеження (2.1.4), потрібно
ввести штучну змінну з наступним номером.
В даному випадку введемо штучну змінну
.
В результаті вказаних перетворень
отримаємо наступну задачу:
(2.1.7)
.
Знайти
рішення отриманої задачі (2.8.7) можна
симплекс-методом. Оскільки індекси
векторів повинні відповідати індексам
змінних (
,
,
,
і так далі), вектор вільних членів
позначимо
.
Вектори коефіцієнтів при невідомих і вектор вільних членів такі:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Перша симплексна таблиця буде мати вид:
Таблиця 2.1.1
Перша симплексна таблиця
|
Б |
С |
|
0 |
2 |
5 |
0 |
0 |
0 |
М |
М |
М |
|
|
р0 |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
р5 |
р6 |
р7 |
р8 |
С.В. | |||
|
р6 |
М |
0 |
-5 |
5 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
р7 |
М |
0 |
-6 |
1 |
6 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
р5 |
0 |
0 |
-20 |
4 |
5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
р8 |
М |
1 |
0 |
4 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1/4 |
|
z - рядок |
0 |
0 |
-2 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| |
|
М- рядок |
1 |
-11 |
10 |
10 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| |
Симплексній таблиці 2.1.1. відповідає наступне рішення:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Це рішення не є оптимальним. У першій симплексній таблиці отримано три однакові симплексні відношення, які дорівнюють нулю. При виборі розв’язувального рядка потрібно вибрати той, який відповідає найбільшому елементу розв’язувального стовпця. В даному випадку виберемо рядок р6 і генеральний елемент дорівнює 5. Друга симплексна таблиця матиме вигляд:
Таблиця 2.1.2
Друга симплексна таблиця
|
Б |
С |
|
0 |
2 |
5 |
0 |
0 |
0 |
М |
М |
|
|
р0 |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
р5 |
р7 |
р8 |
С.0. | |||
|
р1 |
2 |
0 |
-1 |
1 |
1/5 |
-1/5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
р7 |
М |
0 |
-5 |
0 |
29/5 |
1/5 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
р5 |
0 |
0 |
-16 |
0 |
21/5 |
4/5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
р8 |
М |
1 |
4 |
0 |
11/5 |
4/5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5/11 |
|
z-рядок |
0 |
-2 |
0 |
-23/5 |
-2/5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| |
|
М- рядок |
1 |
-1 |
0 |
8 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
| |
Симплексній таблиці 2.1.2. відповідає наступне рішення:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Це рішення не є оптимальним. Перехід до наступної симплексної таблиці робимо за правилами симплекс-методу і з врахуванням коментаря щодо вибору розв’язувального рядка. Третя симплексна таблиця матиме вигляд:
Таблиця 2.1.3
Третя симплексна таблиця
|
Б |
С |
|
0 |
2 |
5 |
0 |
0 |
0 |
М |
|
|
р0 |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
р5 |
р8 |
С.В. | |||
|
р1 |
2 |
0 |
-24/29 |
1 |
0 |
-1/29 |
1/29 |
0 |
0 |
0 |
|
р2 |
5 |
0 |
-25/29 |
0 |
1 |
1/29 |
-5/29 |
0 |
0 |
0 |
|
р5 |
0 |
0 |
-359/29 |
0 |
0 |
19/29 |
21/29 |
1 |
0 |
0 |
|
р8 |
М |
1 |
171/29 |
0 |
0 |
21/29 |
11/29 |
0 |
1 |
29/171 |
|
z-рядок |
0 |
-173/29 |
0 |
0 |
-7/29 |
-23/29 |
0 |
0 |
| |
|
М- рядок |
1 |
171/29 |
0 |
0 |
21/29 |
11/29 |
0 |
0 |
| |
Симплексній таблиці 2.1.3 відповідає наступне рішення:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Це рішення не є оптимальним. Переходимо до четвертої симплексної таблиці:
Таблиця 2.1.4
Четверта симплексна таблиця
|
Б |
С |
|
0 |
2 |
5 |
0 |
0 |
0 |
|
|
р0 |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
р5 |
С.В. | |||
|
р1 |
2 |
24/171 |
0 |
1 |
0 |
-18/171 |
15/171 |
0 |
- |
|
р2 |
5 |
25/171 |
0 |
0 |
1 |
24/171 |
-20/171 |
0 |
25/24 |
|
р5 |
0 |
359/171 |
0 |
0 |
0 |
372/171 |
260/171 |
1 |
359/372 |
|
р0 |
0 |
29/171 |
1 |
0 |
0 |
21/171 |
11/171 |
0 |
29/21 |
|
z-рядок |
173/171 |
0 |
0 |
0 |
84/171 |
-70/171 |
0 |
| |
Симплексній таблиці 2.1.4 відповідає наступне рішення:
,
,
,
,
,
.
Це рішення не є оптимальним. Переходимо до п’ятої симплексної таблиці.
Таблиця 2.1.5
П’ята симплексна таблиця
|
Б |
С |
|
0 |
2 |
5 |
0 |
0 |
0 |
|
р0 |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
р5 | |||
|
р1 |
2 |
90/372 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
р2 |
5 |
4/372 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
р3 |
0 |
359/372 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
р0 |
0 |
19/372 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
z-рядок |
200/372 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-280/372 |
-84/372 | |
Симплексній таблиці 2.15 відповідає наступне рішення:
,
,
,
,
.
Це рішення є оптимальним. Знайдемо значення вихідних змінних, використовуючи формули (2.1.6):
,
.
Таким чином, рішення даної задачі дробово-лінійного програмування має вид:
,
,
.
Задачу дробово-лінійного програмування с двома змінними можна розв’язувати графічним методом.