1.4. Двоїста задача лінійного програмування

З кожною ЗЛП зв’язана інша лінійна задача, яка називається двоїстою (начальна задача називається вихідною).

Пара двоїстих задач має наступний вид:

Вихідна задача Двоїста задача

Правила складання двоїстої задачі:

1. Якщо цільова функція вихідної задачі формулюється на максимум, а цільова функція двоїстої задачі – на мінімум, при цьому в задачі на максимум все нерівності в обмеженнях приводять до вигляду “”, а в задачі на мінімум – до вигляду “ ”.

2. Матриця складена з коефіцієнтів при невідомих в системі обмежень вихідної задачі, і аналогічна матриця двоїстої задачі є транспонованими по відношенню одна до однієї.

3. Число змінних двоїстої задачі дорівнює числу обмежень вихідної задачі а число обмежень двоїстої задачі – числу змінних вихідної задачі.

4. Коефіцієнтами при невідомих в цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени в системі обмежень вихідної задачі.

5. Правими частинами в обмеженнях двоїстої задачі є коефіцієнти при невідомих в цільовій функції вихідної задачі.

6. Передбачається, що змінні в обох задачах є невід’ємними.

Пари двоїстих задач підрозділяються на симетричні і несиметричні. У симетричних задачах обмеження вихідної і двоїстої задач є нерівностями, змінні можуть набувати невід’ємні значення. У несиметричних задачах обмеження вихідної задачі можуть бути рівняннями, а двоїстої – нерівностями, змінні можуть набувати будь-яких значень.

Зауваження.

• Двоїста задача до двоїстої буде вихідною.

• Для побудови двоїстої задачі слід перевірити виконання для вихідної задачі наступних умов:

а) у всіх обмеженнях вільні члени містяться в правій частині нерівностей (рівностей), члени з невідомими – в лівій;

б) всі нерівності обмежень вихідної задачі мають бути записані так, щоб знаки нерівностей в них були направлені в одну і тугіше сторону;

в) знаки нерівностей системи обмежень пов’язані з оптимізацією цільової функції таким чином: ;

Між взаємно двоїстими ЗЛП має місце взаємозв'язок, який виходить з теорем двоїстості.

Теореми двоїстості.

• Якщо одна з пари двоїстих задач має оптимальний план, то друга також має рішення, а значення цільових функцій для оптимальних планів збігаються, тобто .

• Якщо цільова функція однієї з пари двоїстих задач не обмежена, то друга задача зовсім не має рішень.

• Пара двоїстих задач не має рішень.

• Якщо вихідна задача має оптимальний план, що знайдено за допомогою симплекс-метода, то оптимальний план двоїстої задачі розташований в останній таблиці. Значення дорівнює модулю оцінки оптимальності для вектора, який в першій симплекс-таблице був першим базисним вектором і так далі

• Якщо в результаті підстановки оптимального плану вихідної задачі в систему обмежень цієї задачі i-е обмеження звертається в рівність, то відповідна i-а компонента оптимального плану двоїстої задачі дорівнює нулю.

• Якщо i-а компонента оптимального плану двоїстої задачі додатна, то відповідне i-е обмеження вихідної задачі виконується для оптимального плану.

Приклад 1.4.1. Записати двоїсту задачу для ЗЛП (1.2.1) (1.2.2). Виписати рішення двоїстої задачі.

Розв’язування. Оскільки вихідна задача на максимум, то у всіх обмеженнях системи (1.2.1) має бути знак “”. Для цього обидві частини третьої нерівності помножимо на (–1). Таким чином, отримаємо:

(1.4.1)

max z = x₁ + 4x₂ (1.4.2)

Для задачі (1.4.1), (1.4.2) запишемо двоїсту. Для цього:

Випишемо матрицю, що складається з коефіцієнтів при невідомих в системі обмежень (1.4.1) і транспонуємо її: .

За отриманою матрицею складемо нову систему обмежень, причому в нерівностях обмежень буде знак “” і в правій частині цих нерівностей будуть стояти коефіцієнти цільової функції (1.4.2), тобто 1 і 4:

Коефіцієнтами цільової функції двоїстої задачі будуть числа, що знаходяться в правій частині обмежень вихідної задачі (1.4.1), причому цільова функція вже мінімізується: min f = – 5y₁ + 6y₂ – 7y₃ .

Таким чином, двоїста задача має вид (1.4.3), (1.4.4):

(1.4.3)

min f = – 5y₁ + 6y₂ – 7y₃ . (1.4.4)

Вихідна і двоїста ЗЛП мають різний економічний зміст. Розв’язуючи одну задачу можна не розв’язуючи другу виписати її рішення. Рішення двоїстої задачі y₁, y₂, y₃ знаходиться в z-рядку останньої симплексної таблиці в додаткових стовпцях (а саме, в стовпцях р₃, р₄, р₅). Слід пам’ятати, що рішення виписують з урахуванням невід’ємності змінних. В нашому випадку маємо наступне рішення:

y₁ = 0, y₂ = 9/2, y₃ = 1/2.

При підстановці цього рішення в цільову функцію двоїстої задачі (1.4.4) повинне виходите число, що стоїть в z-рядку останньої симплексної таблиці в стовпці р₀. Перевіримо:

min f = maxz.