Алгоритм венгерского метода решения задачи о назначениях
В исходной матрице определить в каждой строке наименьшее число и вычесть его из всех элементов этой строки.
В матрице, полученной на первом шаге, найти в каждом столбце наименьшее число и вычесть его из всех элементов этого столбца.
Оптимальным назначениям будут соответствовать нулевые элементы, полученные на предыдущем шаге.
Если не получено оптимальное решение, то нужно выполнить действия:
а) В последней матрице выделим минимальное число горизонтальных и вертикальных строк и столбцов с тем, чтобы выделить в матрице все нулевые элементы.
б) Найти наименьший невыделенный элемент и вычесть его из остальных невыделенных элементов и прибавить к элементам, расположенным на пересечении выделенных строк и столбцов.
в) Если новое распределение нулевых элементов не позволяет построить решение, повторить шаг 4 а).
Пример 2.7.2. Решить задачу о назначениях 2.7.1. венгерским методом.
-
места
исполнители
B1
B2
B3
B4
B5
А1
10
13
9
11
2
А2
9
12
8
3
4
А3
7
5
4
5
8
А4
4
6
4
7
9
А5
8
1
3
2
6
Решение. В строке А1 минимальное число 2, вычтем его из всех элементов этой стоки. Аналогично, в строке А2 – 3, А3 – 4, А4 – 4, А5 – 1. В результате получим таблицу 2.7.3.
Таблица 2.7.3.
-
места
исполнители
B1
B2
B3
B4
B5
8
11
7
9
0
А2
7
9
5
0
1
А3
3
1
0
1
4
А4
0
2
0
3
5
А5
7
0
2
1
5
Таким образом, решения задачи о назначениях, полученные разными методами совпали.
Пример 2.7.3. Решить задачу о назначениях венгерским методом.
-
места
исполнители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
2
3
4
1
5
6
7
А2
4
3
1
2
5
6
9
А3
3
3
9
10
5
5
4
А4
4
5
4
6
7
9
10
А5
3
4
4
5
6
9
8
А6
4
5
5
7
8
1
2
А7
4
3
4
1
2
3
5
Решение. В каждой строке найдем минимальное число и вычтем его из остальных элементов этой строки. В результате получим таблицу 2.7.4.
Таблица 2.7.4
-
места
исполнители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
1
2
3
0
4
5
6
А2
3
2
0
1
4
5
8
А3
0
0
6
7
2
2
1
А4
0
1
0
2
3
5
6
А5
0
1
1
2
3
6
5
А6
3
4
4
6
7
0
1
А7
3
2
3
0
1
2
4
В столбцах, которые не содержат нулевых значений, найдем минимальные числа, и, вычтем их из элементов соответствующего столбца. Это столбцы B5 и B7. В результате получим таблицу 2.7.5, в которой не получено оптимальное решение. В таблице 2.7.5 выделим минимальное число горизонтальных и вертикальных строк и столбцов с тем, чтобы выделить все нулевые элементы. Это столбцы B1, B3, B4, и, строки А3, А6, А7.
Таблица 2.7.5
-
места
исполнители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
1
2
3
0
3
5
5
А2
3
2
0
1
3
5
7
А3
0
0
6
7
1
2
0
А4
0
1
0
2
2
5
5
А5
0
1
1
2
2
6
4
А6
3
4
4
6
6
0
0
А7
3
2
3
0
0
2
3
Наименьший невыделенный элемент 1. Вычтем его из невыделенных элементов и прибавим к элементам, расположенным на пересечении выделенных строк и столбцов. В результате получим таблицу 2.7.6, в которой получено оптимальное решение.
Таблица 2.7.6
-
места
исполнители
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
1
1
3
0
2
4
4
А2
3
1
0
1
2
4
6
А3
1
0
7
8
1
2
0
А4
0
0
0
2
1
4
4
А5
0
0
1
2
1
5
3
А6
4
4
5
7
6
0
0
А7
4
2
4
1
0
2
3
Суммарные затраты при таких назначениях определяются исходными затратами:
z = 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 1 + 2 = 17.