Алгоритм метода Фогеля
Вычислить для каждой строки (и каждого столбца) штраф – разность между тарифом, следующим по величине за минимальным, и минимальным тарифом строки (столбца).
Выбрать строку или столбец с минимальным штрафом. Если таких несколько, то выбрать любую. В выбранной строке (столбце) в клетке с минимальным тарифом записать максимально возможную поставку. Исключить из дальнейшего рассмотрения строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, или столбец, соответствующий потребителю заявка которого выполнена (или строку и столбец).
Если остается неисключенной только одна строка (столбец), таблицу заполнить методом минимального элемента. Если остаются неисключенными несколько строк (столбцов), алгоритм повторить, начина с пункта 1.
Вычислим штрафы для всех строк и столбцов. Максимальный штраф равен 7, поэтому выберем строку А1, в ней клетку с минимальным тарифом с15 и запишем в нее 1. Строка А1 и столбец B5 не рассматриваются далее.
Повторим итерационный процесс, вычислим штрафы. Максимальный штраф равен 5, поэтому выберем строку А2, в ней клетку с минимальным тарифом с24 и запишем в нее 1. Строка А2 и столбец B4 не рассматриваются далее.
На этом шаге не рассматриваются строки А1, А2 и столбцы B4, B5. Для оставшихся строк и столбцов снова вычислим штрафы. Максимальный штраф равен 4, поэтому выберем столбец B2, в нем клетку с минимальным тарифом с52 и запишем в нее 1. Строка А5 и столбец B2 не рассматриваются далее.
На этом шаге не рассматриваются строки А1, А2, А5 и столбцы B2 ,B4, B5. Строка А3 и столбец B1 имеют максимальный штраф – 3, поэтому из них можно выбрать любой. Выберем строку А3, содержащую минимальный тариф с33 = 4 и запишем в нее 1. Строка А3 и столбец B3 не рассматриваются далее.
В результате остались строка А4 и столбец B1. На их пересечении – клетка, содержащую минимальный тариф с41 = 4, запишем в нее 1. В результате получим начальный опорный план, представленный в таблице 2.7.2.
В нашем случае число заполненных клеток должно быть
т + п – 1 = 5 + 5 – 1 = 9.
Заполненными являются только 5 клеток, т.е. опорный план транспортной задачи является вырожденным. Недостающие поставки заполним нулями. Применяя метод потенциалов, получим, что начальный опорный план, построенный по методу Фогеля, является оптимальным.
Таблица 2.7.2
-
места
исполнители
B1
B2
B3
B4
B5
Штрафы
ui
А1
10
(-)
13
(-)
9
(-)
11
(-)
2
1
7 -
0
А2
9
(-)
12
(-)
8
(-)
3
1
4
0
1, 5 -
2
А3
7
(-)
5
(-)
2
1
5
(-)
8
(-)
1, 1, 1, 3-
2
А4
4
1
6
(-)
4
0
7
(-)
9
(-)
2, 2, 2, 0
2
А5
8
(-)
1
1
3
0
2
0
6
(-)
1, 1, 1 -
1
Штрафы
3,3,3,3
4,4,4-
1,1,1,0-
1,1 -
2 -
vj
2
0
2
1
2
Суммарные затраты при таких назначениях определяются исходными затратами:
z = 2 + 3 + 2 + 4 + 1 = 12.
Вырожденность задачи о назначениях, сформулированная в виде транспортной модели, создает дополнительные трудности при вычислении оптимального решения методом потенциалов. Более эффективным для решения таких задач является венгерский метод.