1.9 Параметричне програмування

Існує значна група економічних задач, у яких до складу лінійної цільової функції чи правої частини обмежуючих умов входить параметр. Наприклад, якщо ефективність або доход залежать від сезонних коливань, тоді критерій оптимальності повинний цю залежність відображати. Якщо постачання ресурсів також змінюється під впливом якихось причин, то в системі обмежень це повинно відобразитися. Якщо продукція, що виготовлена підприємством, повинна якийсь час зберігатися, то її вартість складається з двох частин: постійної – це вартість продукції на момент виготовлення – і змінної частини, що залежить від терміну зберігання, причому ця залежність, як правило, лінійна. Цільова функція задачі оптимального планування такого виробництва буде мати коефіцієнти, що лінійно залежать від параметра (від часу).

Головна ідея методу рішення таких задач складається з двох частин:

• беруть фіксовану величину параметра (а самедорівнює найменшому значенню); тоді всі коефіцієнти функції цілі будуть постійними; вирішують задачу для цього випадку, тобто знаходять вершину, у якій досягнуто екстремум;

• визначають усі значення параметра , для яких оптимальне рішення зберігається, тобто для яких екстремальне значення досягається в одній і тій же точці. Знайдені значення виключають з інтервалу зміни параметра; для інтервалу, що залишився, знову вирішують задачу.

Ці дві частини методу повторюють доти, поки не будуть знайдені рішення для усіх . Більш детально алгоритм буде таким:

1. Задачу готують до рішення: функцію спрямовують до мінімуму; нерівності перетворять у рівняння, вводячи додаткові змінні; вводять штучні змінні, якщо потрібно.

2. Надають параметру найменше значення з відрізка. Відповідно з цим конкретизують цільову функцію.

3. Будують І симплексну таблицю відповідно до правил.

4. Доповнюють І симплекс-таблицю двома рядками. В -рядку записують із протилежним знаком коефіцієнти цільової функції, не зв'язані з параметром. В-рядок вносять із протилежним знаком коефіцієнти функціонала, що знаходяться перед параметром.

5. Проводять розрахунки всіх елементів таблиці відповідно до правил симплексного методу, перевіряючи оптимальність на основі М-рядка, а потім -рядка.

6. Виписують оптимальне рішення, якщо критерій ефективності виконався. Після цього рядок в увагу не береться.

7. Знаходять для інтервал сталості рішення, розглядаючи такі випадки (- початок інтервалу,- кінець інтервалу):

а) усі додатні– у цьому випадку частковий інтервал визначається таким способом:

б) усі від’ємні– у цьому випадку інтервал сталості рішення знаходиться так:

в) приймають як додатні, так і від’ємні значення – у цьому випадку інтервал сталості рішення буде таким:

для

для

8. Якщо отриманий інтервал не охоплює відрізок , то необхідно продовжити пошук і знайти рішення для інших значень.

9. Наступний етап полягає у виборі ключового стовпця – їм буде стовпець, у якому отримане значення . Далі виконують симплекс-перетворення і визначають новий частковий інтервалдля нового рішення. Цю процедуру повторюють доти, поки буде вичерпаний весь відрізок.

Приклад.

Знайти рішення задачі параметричного програмування

Підготуємо задачу до рішення:

де	основні змінні,
	додаткові змінні,
	штучна змінна.

Надамо параметру найменше значення з його інтервалу і конкретизуємо цільову функцію:

Сформуємо 1 симплекс-таблицю з додатковими рядками:

Таблиця 1

Базис	С		– 6	– 3	0	0	0	М	С.в.
	0	15	3	5	1	0	0	0	5
	0	15	5	3	0	1	0	0	3
	М	2	1	1	0	0	– 1	1	2
-рядок		0	6	3	0	0	0	0
М-рядок		2	1	1	0	0	-1	0
-рядок		0	7	2	0	0	0	0
-рядок		0	-1	1	0	0	0	0

Критерій оптимальності не виконується.

У таблиці 1 ключовими будуть стовпець і третій рядок. У базис входить вектор, виходить штучний вектор. Генеральний елемент дорівнює 1.

Таблиця 2

Базис	С		– 6	– 3	0	0	0	С. В.
	0	9	0	2	1	0	3	3
	0	5	0	– 2	0	1	5	1
	– 6	2	1	1	0	0	– 1	–
-рядок		– 12	0	– 3	0	0	6
-рядок		– 14	0	– 5	0	0	7
-рядок		2	0	2	0	0	– 1

У таблиці 2 критерій оптимальності не виконується. У новий базис входить , виходить з базису. Генеральної елемент дорівнює 5.

Таблиця 3

Базис	С		– 6	– 3	0	0	0	С.В.
	0	6	0	16/5	1	– 3/5	0	15/8
	0	1	0	– 2/5	0	1/5	1	–
	– 6	3	1	3/5	0	1/5	0	5
-рядок		– 18	0	– 3/5	0	– 6/5	0
-рядок		– 21	0	– 11/5	0	– 7/5	0
-рядок		3	0	8/5	0	1/5	0

У таблиці 3 досягнуто мінімум і максимум. Оптимальні значення основних змінних такі:

.

Це рішення визначає вершину . Воно буде зберігатися для деяких значень. Оскільки усіпозитивні, то ми маємо випадок а) пункту 7:

.

Виходить, вершина забезпечує максимум для. Цей інтервал не перекриває відрізок, тому рішення треба продовжити. Ключовим стовпцем буде стовпець, тому що саме в ньому отримане значення. У новий базис включаємо, виключаємо, генеральний елемент дорівнює. Усі розрахунки виконуємо відповідно до правил симплексного методу. Одержимо таблицю 4.

Таблиця 4

Базис	С		– 6	– 3	0	0	0	С.В.
	-3	30/16	0	1	5/16	– 3/16	0	–
	0	28/16	0	0	2/16	2/16	1	14
	– 6	30/16	1	0	-3/16	5/16	0	6
-рядок		– 270/16	0	0	3/16	– 21/16	0
-рядок		– 270/16	0	0	11/16	– 29/16	0
-рядок		0	0	0	-8/16	8/16	0

У таблиці 4 отримане нове рішення:

.

Воно визначає вершину . Ця вершина буде забезпечувати оптимальність для інших значень, що знаходяться на основі случаю в) пункту 7, тому що величинимають різні знаки:

.

Таким чином, у точці досягається максимум, якщо. Цей інтервал теж не охоплює значення відрізка, необхідно рухатися далі, шукати рішення для значень, що залишилися . Ключовим стане стовпець, векторввійде в базис, вийде з базису вектор, генеральний елемент дорівнює. Одержимо таблицю 5.

Таблиця 5

Базис	С		– 6	-3	0	0	0
	– 3	3	3/5	1	1/5	0	0
	0	1	– 2/5	0	1/5	0	1
	0	6	16/5	0	– 3/5	1	0
-рядок		– 9	21/5	0	– 3/5	0	0
-рядок		– 6	29/5	0	– 3/5	0	0
-рядок		– 3	– 8/5	0	– 1/5	0	0

У таблиці 5 отримане таке рішення: . Воно відповідає вершині. Оскільки всівід’ємні, то вершина, у відповідності з випадком б) пункту 7, буде оптимальною для наступних значень:

.

Підводячи підсумки, конкретизуємо висновки:

• якщо належить інтервалу, то цільова функція досягає максимуму в точці;

• якщо приймає значення з інтервалу, то максимум буде у вершині;

• якщо змінюється віддо 5, то максимум досягається в точці.

Якщо дати геометричну інтерпретацію результатам рішення, то одержимо таку картину. П’ятикутник є безліччю припустимих рішень системи обмежень. З урахуванням відрізка зміни параметрамаксимум спочатку досягається у вершині, потім – у вершині, а наприкінці – у вершині.

2. ВИКОРИСТАННЯ КОМП'ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ДЛЯ РІШЕННЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ