1.2 Графічний метод рішення задач лінійного програмування
Даний метод застосовується для рішення задач, що містять не більш трьох змінних, найчастіше для задач із двома змінними. Він базується на наступних моментах:
множина припустимих рішень задачі опукла, у лінійному випадку вона являє собою кінцевий багатокутник, або багатокутник, що простирається в нескінченність;
цільова функція досягає свого оптимального значення у вершині області. Якщо вона приймає це значення в двох вершинах області, то оптимум досягається в будь-якій точці відрізка, що з’єднує ці вершини;
напрямний вектор (вектор нормалі) буде перпендикулярним до прямої функції цілі і завжди вказує напрямок її зростання.
Схему застосування графічного методу проілюструємо на конкретному прикладі, розглядаючи три етапи:
побудова області припустимих рішень;
побудова напрямного вектора і визначення оптимальних точок;
знаходження оптимальних значень змінних і цільової функції.
Задача.
Знайти максимальне і мінімальне значення функції
при обмеженнях
І етап.Побудова області припустимих рішень
Кожній нерівності ставимо у відповідність рівність, геометричним образом якої є пряма лінія. Для її побудови досить двох точок.
- ця пряма пройде через точки (2; 0) і (0;
3).
0
3
2
0
- ця пряма пройде через точки (-3; 0) і (0;
2).
0
2
– 3
0
- ця пряма пройде через точки (4; 0) і (0;
-4).
0
– 4
4
0
- ця пряма пройде через точки (7; 0) і (0;
4).
-
0
4
7
0
Кожна пряма поділяє площину на дві півплощини, в одній з яких буде виконуватись відповідна нерівність. Щоб установити, точки якої півплощини будуть забезпечувати виконання нерівності, необхідно взяти довільну точку і її координати підставити в нерівність. Якщо для цієї точки нерівність виконалася, то рішенням нерівності буде та півплощина, у якій брали точку. Якщо нерівність для обраної точки не виконалася, то його рішенням будуть точки другої півплощини. Розглядаючи по черзі всі обмеження, одержимо область, у якій будуть справедливі всі нерівності, - це і є область припустимих рішень.
Нерівності
й
означають, що область буде знаходитися
в першій чверті. У нашому випадку областю
припустимих рішень є точки п’ятикутника
.
ІІ етап. Визначення оптимальних точок.
Напрямний вектор проводять з початку координат у точку з координатами, що дорівнюють коефіцієнтам цільової функції, тобто в точку
.
Він завжди вказує напрямок зростання
функції, напрямок спадання цільової
функції буде протилежним.Перпендикулярно напрямному вектору на області припустимих рішень проводять пряму
(вона показана пунктиром).Якщо в задачі потрібно знайти максимум, то пряму
переміщують
паралельно в сторону стрілки напрямного
вектора до останньої точки області –
ця точка і буде точкою максимуму. У
задачі, що розглядається, найбільше
значення досягається у вершині
.Якщо потрібно знайти мінімум, то пряму
переміщають паралельно в протилежну
сторону до останньої точки області. У
даному випадку найменше значення
досягається у вершині
.
ІІІ етап. Визначення оптимальних точок.
Щоб знайти змінні, що забезпечують екстремум, необхідно розв’язати систему рівнянь тих прямих, на перетинанні яких розташовується точка екстремума
|
а) знаходимо
|
б) знаходимо
|
|
|
|
Таким чином, знайдені максимальне і мінімальне значення функції, усі проміжні значення будуть досягатися в інших точках області припустимих значень.
Зауваження 1.
Якщо пряма функції
виявиться паралельною якій-небудь
стороні багатокутника обмежень, то в
цьому випадку задача має безліч рішень:
координати будь-якої точки цієї сторони
багатокутника (у тому числі і вершини)
будуть рішеннями задачі.
Зауваження 2.Якщо область рішень не обмежена, то або задача не має рішення, або цільова функція може прийняти тільки максимальне чи тільки мінімальне значення, або задача має нескінченну безліч рішень.