1.3 Симплексний метод

Симплексний метод є універсальним методом рішення задач лінійного програмування.

Його алгоритм у тій чи іншій інтерпретації міститься практично у всіх підручниках і навчальних посібниках по цій дисципліні. Слід при цьому врахувати, що рішення потрібно починати з приведення задачі до канонічного виду. Рішення здійснюється в три етапи:

а) будується початкове рішення;

6) проводиться оцінка знайденого рішення за відповідним критерієм оптимальності;

в) якщо умова оптимальності не виконується, переходять до нового рішення.

Етапи б) і в) виконуються доти, поки буде отримане оптимальне рішення.

Усі правила проілюструємо на прикладі:

Знайти , при обмеженнях

I етап. Побудова початкового рішення.

а) Приводимо задачу до канонічного виду.

1. Необхідно перейти до визначення мінімуму, щоб усі правила розглянути для цього випадку. Якщо в умові потрібно знайти максимум, то переходять до мінімуму протилежної функції, а, вирішивши задачу, повертаються до заданої функції. У зазначеному прикладі:

2. Якщо серед вільних членів у системі обмежень є від’ємні, то відповідні обмеження множать на (–1). У нашому випадку це правило відноситься до ІІІ-го обмеження. У результаті його застосування система стане такою:

3. Якщо серед обмежень є нерівності, то, використовуючи додаткові змінні, перетворюють їх у рівняння. У нашому випадку:

Одержали канонічний вигляд задачі.

б) В обмеження, де додаткові змінні віднімаються, додають штучні змінні з наступними номерами. Ці штучні невідомі вносять і в цільову функцію з коефіцієнтом . У результаті таких перетворень задача стає такою:

,

де – основні змінні;

– додаткові змінні;

–штучні змінні.

Усі змінні – невід’ємні.

в) Виписують вектори коефіцієнтів при невідомих і вектор вільних членів.

г) будують першу симплексну таблицю наступного виду:

Таблиця 1

Базис			2	- 1	0	0	0			С.В.
		4	1	2	-1	0	0	1	0	4
		5	5	1	0	-1	0	0	1	1
	0	3	-1	1	0	0	1	0	0	-
-строка		0	-2	1	0	0	0	0	0
-строка		9	6	3	-1	-1	0	0	0

Заповнюють таблицю за правилами:

1. Вносять усі вектори .

2. У самий верхній рядок записують коефіцієнти цільової функції при відповідних змінних.

3. Первісний базис складуть вектори, що утворюють одиничну матрицю, - у даному випадку це вектори , , .

4. У стовпець переносять з верхнього рядка числа, що відповідають базисним векторам.

5. Щоб одержати елементи двох останніх рядків, вектор множать послідовно на вектори , ,…,і від результату віднімають відповідне число з верхнього рядка

В -рядок записують коефіцієнти при , у -рядок – коефіцієнти без .

д) Після того, як складена симплекс-таблиця, можна записати рішення. Воно завжди міститься в стовпці і відповідає змінним з номерами базисних векторів. Невідомі, вектори яких не входять до базису, дорівнюють нулю. У даному випадку маємо:

.

ІІ етап. Перевірка оптимальності рішення

а) Критерій оптимальності: функція досягає мінімуму, якщо серед елементів -рядка (а потім -рядка), починаючи з другого, немає додатних чисел. У противному випадку необхідно поліпшувати рішення.

Додержуючись даного критерія, можемо укласти, що отримане з таблиці 1 рішення не є оптимальним: у -рядку є 2 додатні числа – це 6 і 3.

б) У випадку, коли критерій оптимальності не виконується, вибирають ключовий стовпець – по найбільшому додатному числу в -рядку (а потім у -рядку), починаючи з другого. Ключовий стовпець показує, який вектор ввійде в новий базис. У таблиці 1 – найбільше число в -рядку (починаючи з другого) дорівнює 6, у новий базис увійде .

в) Визначають симплексні відносини, для цього елементи поділяють на додатні елементи ключового стовпця (на від’ємні і нулі не поділяють). У таблиці 1 симплексні відносини дорівнюють 4 і 1, у третьому рядку ставлять прочерк, тому що на (– 1) не поділяють.

г) Ключовий рядок вибирають по найменшому симплексному відношенню (С.В.), він показує, який вектор вийде з базису. Найменше симплексне відношення дорівнює 1, ключовим буде другий рядок, з базису піде штучний вектор .

д) Елемент, що знаходиться на перетинанні ключового рядка і ключового стовпця, називається генеральним. У побудованій таблиці генеральний елемент дорівнює 5.

III етап. Побудова нового рішення (таблиці 2).

а) Формують новий базис, заміняючи вектор на вектор . У даній задачі новий базис буде складатися з векторів , , . Оскільки з базису вийшов штучний вектор , то відповідний йому стовпець відкидають. Коли з базису піде останній штучний вектор, то відкидають і -рядок.

б) Стовпець заповнюють за правилом, викладеному вище – з верхнього рядка.

Таблиця 2

Базис			2	- 1	0	0	0		С.В.
		3	0	9/5	-1	1/5	0	1	5/3
	2	1	1	1/5	0	-1/5	0	0	5
	0	4	0	6/5	0	-1/5	1	0	10/3
-строка		2	0	7/5	0	-2/5	0	0
-строка		3	0	9/5	-1	1/5	0	0

в) Обчислення ведуть за такими правилами.

1. Елементи ключового рядка поділяють на генеральний елемент і записують у нову таблицю.

2. Ключовий стовпець доповнюють нулями.

3. Якщо в ключовому рядку є нулі, то відповідні їм стовпці переносять без зміни – це .

4. Інші елементи визначають за правилом прямокутника. Для його побудови в попередній таблиці старий елемент з’єднують із ключовим рядком і ключовим стовпцем, а потім по рядку і стовпцю ведуть до генерального елемента, (див. табл. 1)

–генеральний елемент, – новий елемент, – старий елемент, – елемент ключового рядка, – елемент ключового стовпця.

Новий елемент знаходять так: обчислюють добуток елементів діагоналі, що містить генеральний елемент, з нього віднімають добуток елементів іншої діагоналі; одержану різницю поділяють на генеральний елемент, і результат вносять у нову таблицю (див. табл. 2).

Наприклад, для стовпця маємо:

Для стовпця одержимо:

Рішення, що відповідає Іі-й таблиці, беремо з , воно має вигляд:

.

Для аналізу другого рішення повторюють усі дії, починаючи з II етапу. Перевірка показала, що в II таблиці умова оптимальності не виконується: є два додатних числа – це 9/5 і 1/5. Беруть найбільше і виділяють ключовий стовпець , знаходять симплексні відносини і вибирають ключовий рядок (перший), генеральний елемент дорівнює 9/5. Всі обчислення приводять до таблиці 3. З базису іде останній штучний вектор , тому таблиця 3 не буде містити стовпець і -рядок.

Таблиця 3

Базис			2	- 1	0	0	0	С.В.
	-1	5/3	0	1	-5/9	1/9	0	-
	2	2/3	1	0	1/9	-2/9	0	6
	0	2	0	0	2/3	-1/3	1	3
-строка		-1/3	0	0	7/9	-5/9	0

Рішення на базі таблиці 3 має вигляд:

.

Дане рішення не є оптимальним – перевірку ведемо по -рядку, у ньому міститься додатне число 7/9. Будуємо ще одну таблицю.

Таблиця 4

Базис			2	- 1	0	0	0
	-1	10/3	0	1	0	-1/6	5/6
	2	1/3	1	0	0	-1/6	-1/6
	0	3	0	0	1	-1/2	3/2
-строка		-8/3	0	0	0	-1/6	-7/6

В -рядку серед елементів, починаючи з другого, немає додатних чисел, виходить, у табл. 4 умова оптимальності виконалося. Оптимальне рішення має вигляд:

.

Дамо геометричну інтерпретацію симплексному рішенню. Для цього побудуємо область припустимих рішень і проаналізуємо, яким точкам відповідає кожна симплекс-таблиця. У розрахунок беремо тільки значення основних змінних і .

Область рішень не є кінцевою, а простирається в нескінченність і містить безліч точок, для яких виконуються всі обмеження.

Першій симплекс-таблиці відповідають значення , це точка – вона не лежить в області рішень, тому що в таблиці присутні штучні змінні. Другій таблиці відповідають – це точка , вона теж знаходиться поза областю рішень. У третій таблиці штучні змінні виключені, тому рішення вже належить області рішень: – це точка . Дана вершина не є оптимальною, ми переходимо до четвертої таблиці і до вершини : .