1.4 Двоїсті задачі та їх рішення

Кожній задачі лінійного програмування ставлять у відповідність іншу задачу, побудовану на основі тих же даних за визначеними правилами.

Ці правила зводяться до наступного:

• всі обмеження вихідної задачі приводять до одного виду: у випадку обмеження повинні мати вид нерівностей типу “ ”, у випадку - типу “ ”. Нерівності, що не відповідають цій умові, множать на (- 1);

• виписують матрицю коефіцієнтів при невідомих і транспонують її ;

• використовують нові змінні (невід’ємні) і на основі транспонованої матриці формують обмеження двоїстої задачі. Знак нерівностей беруть протилежним стосовно знака нерівностей вихідної задачі. Для правої частини обмежень використовують коефіцієнти цільової функції вихідної задачі;

• складають цільову функцію двоїстої задачі, беручи для коефіцієнтів праві частини обмежень вихідної задачі. Спрямованість цільової функції двоїстої задачі буде протилежна спрямованості цільової функції вихідної задачі.

Наприклад, для задачі, вирішеної симплексним методом, складемо двоїсту, виходячи з приведених правил.

Перехід від будь-якої задачі до двоїстої можна виконати, використовуючи табличну схему:

	- 1	- 2	- 4
	- 5	- 1	- 5
	- 1	1	3
	- 2	1

Запис однієї задачі йде по рядках, іншої – по стовпцях.

! Необхідно запам’ятати, що при рішенні однієї з двох двоїстих задач автоматично вирішується і друга, і значення цільових функцій у них співпадають. Рішення двоїстої задачі зі зворотним знаком міститься в -рядку останньої симплексної таблиці в додаткових стовпцях.

Наприклад, у розглянутій задачі мали:

-рядок		-8/3	0	0	0	-1/6	-7/6

Додатковими були стовпці , , , тому одержуємо:

.

Розгляд двоїстих задач дуже корисно, тому що вони мають самостійний економічний зміст і дозволяють вивчати економічний процес з різних сторін.

1.5 Аналіз матричної гри

Теорія ігор – це математична теорія конфліктних ситуацій. Гра – конфліктна ситуація, регламентована визначеними правилами:

• порядок виконання ходів;

• порядок виконання кожного ходу;

• кількісний результат гри.

Найбільш вивчені матричні ігри. Наприклад,

	3	4	5
	2	6	4
	5	3	2

У цій грі два учасники – сторона і сторона , у кожного учасника по 3 стратегії. Будемо уважати, що матриця характеризує виграш сторони (і відповідно програш сторони ).

Вирішити гру – значить, дати рекомендації кожній зі сторін щодо використання їхніх стратегій. Попередньо гру аналізують за “принципом міні-максу”. Він полягає у виборі найбільш обережної стратегії, виходячи з найгіршого способу дії іншої сторони.

а) Аналізуємо гру з позицій сторони . Якщо гравець вибирає стратегію, то його гарантований виграш (або саме гірше, що його очікує) дорівнює 3. Якщо він вибирає другу стратегію, то гарантована величина виграшу дорівнює 2. Нарешті, якщо він використовує стратегію, то гарантує собі виграш 2. Ці величини є мінімальними в рядках. Очевидно, що з цих гарантованих виграшів сторонанамагається вибрати найбільше значення – це 3. Дану величину називаютьнижньою ціною гри або максиміном і позначають: .

б) Аналізуємо гру з позиції сторони . Якщо гравець вибирає стратегію, то саме гірше для нього – програш 5. Якщо він зупиниться на стратегії, то гірший результат – програш 6. Якщо ж він вибере стратегію, то найгірший для нього результат – програш 5. Ці величини є максимальними в стовпцях. Звичайно, гравецьвиберечи стратегію, щоб зменшити гарантований програш – це число 5. Цю величину називаютьверхньою ціною гри або мінімаксом і позначають: .

в) Ціна гри – це величина, що відображає об’єктивне співвідношення сил, вона завжди задовольняє умові:. У даному прикладі:.

Якщо , то гра має рішення в конкретних стратегіях, що називаютьсяоптимальними. Ці оптимальні стратегії є стійкими, забезпечують рівновагу в грі, а ціна гри називається “сідловою точкою”. Якщо такої ситуації нема, то оптимальні стратегії будуть виглядати так:

; .

де – ймовірності стратегій сторони ;

–ймовірності стратегій сторони .

Кожній матричній грі можна поставити у відповідність дві двоїсті задачі лінійного програмування, які відображають інтереси сторін. Для сторони задачу записують по рядках, для сторони – по стовпцях. У цих задачах змінні – це ймовірності, змінені на одну й ту ж величину.

Аналіз матричної гри проводиться в два етапи:

• формулюються двоїсті задачі, вирішують одну з них симплекс-методом і записують рішення обох двоїстих задач;

• визначають рішення гри.

1. Запишемо дві двоїсті задачі на основі приведеної платіжної матриці:

а) для учасника	б) для учасника

Симплексне рішення зручно проводити для першої задачі, тому що в ній не буде штучних змінних.

Дана задача приймає вигляд:

У результаті використання симплекс-алгоритму одержимо:

Базис			– 1	– 1	– 1	0	0	0
	0	1	3	4	5	1	0	0
	0	1	2	6	4	0	1	0
	0	1	5	3	2	0	0	1
-рядок		0	1	1	1	0	0	0
	0	2/5	0	11/5	19/5	1	0	–3/5
	0	3/5	0	24/5	16/5	0	1	–2/5
	– 1	1/5	1	3/5	2/5	0	0	1/5
-рядок		–1/5	0	2/5	3/5	0	0	–1/5
	– 1	2/19	0	11/19	1	5/19	0	–3/19
	0	5/19	0	56/19	0	–16/19	1	2/19
	– 1	3/19	1	7/19	0	–2/19	0	5/19
-рядок		–5/19	0	1/19	0	–3/19	0	–2/19
	– 1	3/56	0	0	1	24/56	–11/56	–10/56
	– 1	5/56	0	1	0	–16/56	19/56	2/56
	– 1	7/56	1	0	0	0	–7/56	14/56
-рядок		–15/19	0	0	0	–8/56	–1/56	–6/56

Рішення буде мати вигляд:

а)

б)

2. Знайдемо рішення гри:

а) визначимо ціну гри, – ця величина характеризує кількісний результат гри:

.

б) знайдемо ймовірності стратегій:

; .

; ; .

; ; .

в) складемо оптимальні стратегії для учасників

; .

Як бачимо, для досягнення оптимального результату стороні рекомендується з 15 разів стратегію використовувати 3 рази, стратегію – 5 разів, стратегію – найчастіше, а саме 7 разів. Для сторони стратегію – рекомендується використовувати рідше всього – 1 раз з 15, набагато частіше потрібно застосовувати стратегію – 6 разів з 15, і найбільше – стратегію . Якщо хтось з учасників відхилиться від цих рекомендацій, то він погіршить тільки своє власне становище.