1.8 Дробово-лінійне програмування

Якщо в задачі з лінійними обмеженнями задана дробово-лінійна цільова функція, то така задача може бути перетворена до традиційного виду шляхом нескладних змін. Перетворена модель може бути розв’язана симплексним методом, а знайдене рішення трансформоване в рішення вихідної задачі дробово-лінійного програмування. Всі етапи алгоритму проілюструємо на конкретному прикладі.

1. Систему обмежень приводять до канонічного виду:

де	основні змінні;
	додаткові змінні;
	штучні змінні.

2. Знаменник цільової функції позначають через , це приводить до наступного:

• з’явиться додаткове обмеження або;

• функція цілі стане такою .

2. Всі обмеження множать на і до них додають додаткове співвідношення.

2. Впроваджують позначення:

; ;;

; ;;.

Упорядковують систему щодо нових змінних, переносячи з правої частини елементи, пов’язані з . Крім того, у додаткове обмеження вводять штучну змінну з наступним номером, у даному випадку вводять. Це необхідно для формування початкового базису. У результаті зазначених перетворень задача здобуває вигляд:

2. Задача придбала канонічну форму, її рішення може бути виконано симплексним методом. З огляду на те, що індекси векторів повинні відповідати індексам змінних (,,і т.д.), вектор вільних членів позначають через- це позбавить від плутанини.

Таблиця 1

Початкове симплекс-рішення

Б	С		0	3	2	0	0	0				С.В.
		0	-6	1	6	-1	0	0	1	0	0	0
		0	-14	7	2	0	-1	0	0	1	0	0
	0	0	-5	1	1	0	0	1	0	0	0	0
		1	0	4	5	0	0	0	0	0	1	1/5
-рядок		0	0	-3	-2	0	0	0	0	0	0
-рядок		1	-20	12	13	-1	-1	0	0	0	0

Даній таблиці відповідають такі значення змінних:

; ;;;;;;;.

Це рішення не оптимальне.

У таблиці 1 отримано три однакових симплексних відношення, – усі вони дорівнюють нулю. При виборі ключового рядка керуються правилом: беруть той, що відповідає більшому елементу ключового стовпця. У даному випадку вибирають перший рядок, і генеральний елемент дорівнює 6.

Таблиця 2

Друга симплексна таблиця

Б	С		0	3	2	0	0	0			С.В.
	2	0	-1	1/6	1	-1/6	0	0	0	0	0
		0	-12	40/6	0	2/6	-1	0	1	0	0
	0	0	-4	5/6	0	1/6	0	1	0	0	0
		1	5	19/6	0	5/6	0	0	0	1	6/19
-рядок			-2	-16/6	0	-2/6	0	0	0	0
-рядок			-7	59/6	0	7/6	-1	0	0	0

Друге рішення виглядає так:

; ;;;;;;;.

Воно не оптимальне.

Перехід до третьої таблиці виконується за звичайними правилами з урахуванням коментарю до вибору ключового рядка, зробленого після таблиці 1.

Таблиця 3

Третє симплексне рішення

Б	С		0	3	2	0	0	0		С.в.
	2	0	-28/40	0	1	-7/40	1/40	0	0	-
	3	0	-72/40	1	0	2/40	-6/40	0	0	-
	0	0	-100/40	0	0	5/40	5/40	1	0	-
		1	428/40	0	0	27/40	19/40	0	1	40/428
-рядок		0	-272/40	0	0	-8/40	-16/40	0	0
-рядок		1	428/40	0	0	27/40	19/40	0	0

Третє рішення:

.

Умова оптимальності все ще не виконується, переходять до наступної таблиці.

Аналіз показує, що значення більшості змінних будуть дорівнювати нулю доти, поки ключовим рядком буде залишатися рядок з нульовим елементом у . Як тільки ключовим стане рядок з ненульовим елементом у, так базисні змінні приймуть конкретні значення.

Таблиця 4

Четверте симплексне рішення

Б	С		0	3	2	0	0	0	С.о.
	2	28/428	0	0	1	-56/428	24/428	0	-
	3	72/428	0	1	0	70/428	-30/428	0	72/70
	0	100/428	0	0	0	121/428	101/428	1	100/121
	0	40/428	1	0	0	27/428	19/428	0	40/27
-рядок		272/428	0	0	0	98/428	-42/428	0

Рішення, що відповідає таблиці 4, має вигляд:

, ,,,.

Воно не оптимальне, знаходять слідуюче симплекс-перетворення.

Таблиця 5

П’яте симплексне рішення

Б	С		0	3	2	0	0	0
	2	21/121	1	0	0	0	20/121	56/121
	3	4/121	0	1	0	0	-25/121	-70/121
	0	100/121	0	0	0	1	101/121	428/121
	0	5/121	0	0	1	0	-1/121	-27/121
-рядок		54/121	0	0	0	0	-35/121	-98/121

У таблиці 5 отримане рішення, що задовольняє умові оптимальності:

, ,,,.

2. Визначають значення вихідних змінних:

; ;.

Таким чином, рішення задачі дробово-лінійного програмування буде наступним:

.

7. Дають, якщо можливо, геометричну інтерпретацію задачі:

• знаходять область припустимих значень;

• відзначають точки, що відповідають симплекс-таблицям.

Областю рішень є трикутник . Перші реальні значення зміннихз’явилися в четвертій симплексній таблиці, їм відповідають такі значення вихідних невідомих:. На графіку – це вершина, вона не є оптимальної. Оптимальне рішення забезпечує вершина.

Зауваження. Дробово-лінійну задачу з двома змінними можна вирішувати графічним методом, ґрунтуючись на таких правилах:

1. По системі заданих обмежень будують область припустимих рішень.

2. Вибирають довільне значення і будують відповідну пряму– вона обов'язково пройде через початок координат.

3. Позначимо

• якщо , то, повертаючи прямупроти годинникової стрілки до опорного положення, одержимо точку мінімуму (для одержання максимуму пряму повертають по годинній стрілці);

• якщо , то для одержання мінімуму прямуповертають по годинній стрілці до опорного положення (для максимуму – проти годинниковій стрілки).

4. Визначивши оптимальні точки, знаходять їх координати – це і будуть оптимальні значення змінних, після чого обчислюють величину функції цілі.

Приклад.Знайти рішення дробово-лінійної задачі.

, розглянемо 2 варіанти функції

а)

б)

1. Будуємо область припустимих рішень – вона визначається трьома нерівностями і являє собою трикутник .

2. Будуємо пряму

а)

б)

; ;

а) ;;;;

б) ;;;;