Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

mu-soprotivleniye-materialov-z

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
1 Mб
Скачать

Центральные оси zC, yC надо повернуть против часовой стрелки на угол18,7 , чтобы они стали главными центральными осями u и v.

5. Определим главные центральные моменты инерции сечения

 

 

 

 

 

 

 

J z

 

J y

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1512,01 868,88

 

J

 

 

 

J

 

 

C

C

 

 

(J

 

 

J

 

 

 

)2

4J 2

 

 

 

 

max

U

 

 

 

 

 

 

 

z

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

C

 

 

C

 

 

 

z

C

C

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1512,01 868,88)2 4 246,022

1190,445 404,833;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

max

J

u

1595,33 см4 ,

J

min

J

v

785,562 см4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4 Тема: Изгиб (стр. 237-258)

Для заданных двух схем балок требуется написать выражение для Q и M по участкам в общем виде, построить эпюры Q и M, найти Mmax и подобрать:

а) для схемы «а» деревянную балку круглого поперечного сечения при [ ] 8 МПа ;

б) для схемы «б» – стальную балку двутаврового поперечного сечения при [ ] 160 МПа .

Схема «а» (рис. 4.1)

l1 10a 1,5 м; a1 7a, a2 5a, a3 2a, M 7 кН, P 5 кН ; q 7 кН/м .

P

a1

a2

l1 =

Рис. 4.1

1. Составляем расчетную схему балки согласно своим исходным дан-

ным (рис. 4.2).

l1 10a 1,5 м,

a 0,15 м,

а1 7 0,15 1,05 м,

а2 5 0,15 0,75 м.

а)

б)

в)

Рис. 4.2

2. Запишем выражение для Q и M по участкам балки.

Участок ВD 0 x 0,45 м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q 7x;

 

 

 

 

 

7 кН/м

 

 

x 0, Q 0; x 0,45 м, Q 3,15 кН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

В

 

 

M 7

x2

3,5x2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0, x 0,45 м ,

М 0,709 кНм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Участок DC 0 x 0,3 м

 

 

 

 

5 кН

 

 

Q 5 7(0,45 x) 8,15 7x

 

 

 

 

 

 

x 0, Q 8,15 кН;

x 0,3 м, Q 10,25 кН .

 

 

 

 

 

 

7 кН/м

 

 

 

 

 

 

 

 

В

M 7

(x 0,45)2

5x 0,70875 8,15x 3,5x2 ,

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

x

 

0,45 м

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0, M 0,70875 0,709 ,

 

 

 

 

x 0,3 м,

М 0,70875 2,445 0,315 3,46875 3,469 кНм.

Участок СА 0 x 0,75 м

 

 

 

5

7

 

 

 

 

x

С

0,3 м

D

В

0,45

Q5 7 0,75 10,25 кН

М5(0,3 x) 7 0,75 (0,375 x)

3,469 10,25x,

x 0, M 3,469 кНм.

x 0,75 м, M 11,156 кНм .

3. На основании выполненных расчетов строим эпюры Q и M (рис. 4.2

б, в).

4. Подберем необходимый диаметр круглого поперечного сечения деревянной балки из условия прочности на изгиб (рис. 4.3).

max M z max [ ]; [ ] 8 МПа 0,8кН см2 .

Wz

Сеч.

y

8

 

 

z Эп. σ

8

d

Рис. 4.3

Из эпюры М значение M z max 11,156 кНм 1115,6 кН см в сечении А

у жесткой заделки. Момент сопротивления Wz для круглого поперечного сечения равен

Wz d 3 . 32

С учетом этого условие прочности на изгиб примет вид

max 32 M z3max [ ].

d

 

 

32

M z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

32 1115,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда d

3

 

 

3

 

 

3

1411,463 24,22 24,5 см.

 

 

 

 

 

 

 

[ ]

 

3,14 0,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 24,5 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема «б»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: схема (рис.

4.4), l2 10a 7 м,

а2 5а,

 

а3 2а,

М 7 кНм,

q 7 кН м .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

l2 =10a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.4

 

 

 

1. Составим расчетную схему балки согласно своим исходным данным

(рис. 4.5, а).

 

 

 

 

 

 

 

 

l2 10a 7 м, а 0,7 м,

 

 

 

 

 

 

а1 7 0,7 4,9 м,

а2

5 0,7 3,5 м, а3

2 0,7 1,4 м.

 

 

RA= 28,155

 

 

 

 

 

 

RB= 6,145 кН

 

 

 

 

 

7 кНм

7 кН/м

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C

А

 

 

D

 

Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,4 м

2,1 м

1,4 м

 

3,5 м

 

 

18,355

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эп. Q (кН)

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9,8

 

 

 

6,145

 

6,145

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,86

 

 

Эп. М

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

16,25

 

 

 

 

 

 

 

 

23,25

21,508

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24,20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.5

 

 

 

2. Определим величину опорных реакций

 

 

 

M A 0

7 4,9 1,05 7 7RB 0

RB 6,145 кН.

 

 

M B 0

7 7 4,9 5,95 7RA 0

RA 28,155 кН .

 

Проверка. y 28,155

6,145 7 4,9 34,3 34,3 0.

 

3. Запишем выражения для Q и M по участкам балки.

 

 

 

Участок СА

0 x 1,4 м

 

 

7 кН/м

 

 

 

Q 7x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0,

Q 0;

x 1,4 м, Q 9,8 кН.

С

x

 

 

 

M 7 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,5x2

,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x 0, M 0; x 1,4 м, M 6,86 кНм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Участок AD

0 x 2,1м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q 7(1,4 x) 28,155 18,355 7x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0,

Q 18,355 кН;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28,55 кН

x 2,1м,

Q 3,655 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1,4 x)2

 

 

 

 

 

7 кН/м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 7

 

 

6,86 18,355x 3,5x2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

С

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,4

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0,

M 6,86 кНм;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2,1м,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 6,86 38,546 15,4365 16,251кНм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Участок ВЕ

0 x 3,5 м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,145кН

Q 6,145 кН,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

M 6,145x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x 0,

M 0, x 3,5 м,

M 21,508 кНм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Участок ED

0 x 1,4 м

 

 

 

 

7 кН/м

 

 

 

 

 

 

 

6,145кН

Q 6,145 7x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

x 0,

Q -6,145кН;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

Е

3,5м

 

x 1,4 м,

Q 3,655 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поперечная сила на этом участке меняет знак, значит, существует экстремум для изгибающего момента.

6,145 7x 0,

x 0,878 м .

M 6,145(3,5 x) 7

x2

21,5075 6,145x 3,5x2 ;

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0, M 21,508 кНм;

x 1,4 м,

M 21,5075 8,603 6,86 23,251кНм;

x 0,878 м,

M max 24,205 кНм.

4. На основании выполненных расчетов строим эпюры Q и М (рис. 4.5,

б, в).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Определим требуемый момент сопротивления поперечного сечения

из условия прочности на изгиб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

max

[ ],

 

 

M z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M z

 

max .

 

W

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из эпюры M значение M z max 24,205 кНм 2420,5 кН см. [ ] 160 МПа 16кНсм2 .

Wz 2420,5 151,3 см3. 16

6. Обращаемся к сортаменту прокатной стали и выбираем необходимый номер двутавровой балки с моментом сопротивления, близким к требуемому.

Наиболее близко подходят двутавры №18 с Wz 143 см3 и № 18а с Wz 159 см3.

При установке двутавра №18 будет некоторое перенапряжение. Оценим его величину.

 

 

 

 

M z

max

 

2420,5

 

16,93 кН см2 =169,3 МПа.

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

143

 

 

 

 

 

 

 

 

%перенапряжения

169,3 160

100 5,8% 3%, что недопустимо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

160

 

 

Окончательно выбираем двутавр №18а с Wz 159 см3. В этом случае максимальное напряжение будет равно

 

 

 

 

M z

max

 

2420,5

15,22 кН см2 =152,2 МПа<[σ]=160 МПа.

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

159

 

 

 

 

 

 

Задача 5 Тема: Косой изгиб (стр.258-262)

Определить размеры поперечных сечений стальной балки, найти положение нейтральной оси и построить эпюру нормальных напряжений в опасном прямоугольном сечении для балки, изображенной на рис. 5.1. Принять R 210 МПа , а нагрузки – расчетными.

е)

Рис. 5.1

Запишем выражения для Mz и My по участкам балки и вычислим их значения для характерных сечений

Участок СВ

0 х 3 м

 

 

М

 

10

x2

5x2 .

 

z

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0, M z

 

0;

x 3 м, М z 45 кНм .

 

М у 4х.

 

 

х 0, М у 0;

х 3 м, М у 12 кНм .

Участок ВА

0 х

 

 

 

М z 10 3(1,5 х) 4х 45 26 х.

 

 

x 0,

M z 45 кНм;

 

 

х 1 м,

 

M z

71кНм.

Му 4(3 х) 1 11 4х;

х 0, М у 11кНм; х 1м, М у 15 кНм.

1.На основании выполненных расчетов строим эпюры Мz и Mу

(рис. 5.1, г, д).

2.Анализируем эпюры Мz и Mу и устанавливаем, что наиболее опасным сечением является сечение А у жесткой заделки, где Мz и Mу имеют максимальные по абсолютной величине значения, а опасными точками (см. рис. 5.1, е) являются точки 1 и 2. В точке 1 будут наибольшие растягивающие, а в точке 2 – наибольшие сжимающие напряжения. На сечение смотрим по направлению оси х.

3.Определим положение нейтральной оси. След плоскости действия

результирующего изгибающего момента определяется углом и проходит через 1-й и 3-й квадранты.

 

tg

 

 

M y

 

 

15

 

0,2113;

 

arctg0,2113 12 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M z

 

71

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положение нейтральной оси определяется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

 

tg

 

J z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bh3

 

b(2b)3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

J y

hb3

 

2b b3

1

 

 

 

 

 

 

 

b4 ; J

 

 

 

b4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

12

 

12

 

3

12

12

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 0,2113

2b4 6

0,2113 4 0,8452;

 

 

 

 

 

 

3 b4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg0,8452 39 .

5.Определим из условия прочности по предельным состояниям величину размеров прямоугольного поперечного сечения.

Наиболее опасные точки 1 и 2, но для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, они равноопасны. Остановимся на точке 1.

max 1 M z M y R.

Wz Wy

Для прямоугольного поперечного сечения моменты сопротивления будут равны:

 

 

 

bh

2

 

b(2b)2

 

2

b3; W

 

 

hb2

2b b2

1

b3.

W

z

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

6

 

6

3

6

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3M

z

 

3M y

R;

1,5M

z

 

3M y

R.

2b3

b3

 

b3

 

 

b3

 

b 3 1,5M z 3M y ;

R

М z 71 кНм 7100 кН см.

M y 15 кН м 1500 кН см.

R 210 МПа 21кН см2 .

b 3 1,5 7100 3 1500 8,98 см 9 см.

21

h 2b 18 см .

Определим требуемый номер двутавровой балки.

Предварительно необходимо задаться соотношением

Для средних номеров двутавра Wy 10.

Wz

M

z

 

M y

R;

M

z

 

M y

R;

 

 

 

 

 

 

Wz

Wy

 

Wz

0,1Wz

 

Wy . Wz

W

M z 10M y

 

7100 10 1500

1052,4 см3.

 

 

 

z

R

 

21

 

 

 

 

 

 

Обращаемся к сортаменту прокатной стали и выбираем номер двутавра с близким к требуемому моментом сопротивления. Наиболее близко подхо-

дит двутавр № 45 с W 1231см3 и

W

y

101cм3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим подобранный двутавр:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

z

 

M y

 

 

7100

 

1500

5,768 14,851

20,619

кН

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см

2

 

 

Wz

Wy

 

 

1231

 

 

101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

206,19 МПа R 210 МПа.

Прочность обеспечена. Окончательно выбираем к установке двутавр № 45.

Задача 6 Тема: Внецентренное сжатие (стр. 262-266)

Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке (рис. 6.1), сжимается продольной силой P, приложенной в точке А. Требуется:

1)вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив эти напряжения через P, и размеры сечения;

2)найти допускаемую нагрузку Р при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие [σc] и на растяжение [σр].

Дано: схема (рис. 6.1), a 3 см, b 6 см, [ c ] 88 МПа; [ р ] 21 МПа.

b

A

2b

b

a a

Рис. 6.1

1.Изобразим расчетную схему поперечного сечения согласно своим исходным данным (рис. 6.2).

2.Определим значения главных центральных моментов инерции.

Одна из главных центральных осей – это ось z, совпадающая с осью симметрии.

Для определения второй необходимо найти положение центра тяжести относительно оси y1.

а) разбиваем сечение на простейшие фигуры.

A 3 24 72 см2 ,

A 3 12 36 см2 ,

A A A 108 см2.

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

2

б) координаты центров тяжести составляющих частей относительно

оси y1 равны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3

1,5 см;

z

 

3

3

 

4,5 см,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

c

 

A1z1 A2 z2

 

72 1,5 36 4,5

2,5 см.

 

 

 

 

 

A1 A2

 

 

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) проводим через найденное положение центра тяжести вторую главную центральную ось y, перпендикулярную оси z.