Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

mu-soprotivleniye-materialov-z

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
1 Mб
Скачать

y1

y

 

6 см

 

 

 

A

 

y01

y02

 

6 см

 

 

z01

z02

z

 

 

z1C 1см 2см z2C

 

6 см

 

 

6 см

 

 

 

zC = 2,5см

 

3cм

3cм

 

Рис. 6.2

 

г) определим координаты центров тяжести относительно центральных осей zy.

y1 0,

y2 0,

z1c z1 zc 1,5 2,5 1 см,

z2c z2 z3 4,5 2,5 2 см.

д) определим значение главных центральных моментов инерции

J

 

 

J

(1)

J (2)

J (1)

J (2)

b1h13

b2h23

 

 

z

 

z

 

z

 

z01

z02

 

12

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 243

 

3 123

3456 432 3888 см4

;

 

 

12

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

z

3888 см4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

J

(1) J (2)

J

(1)

z2 A J (2)

z2 A

 

y

 

 

y

 

y

 

y01

1c 1

y02

 

2c 2

 

h1b13

z2

A

h2b23

z2

A

24 33

( 1)2 72

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

1c

1

12

 

2c

2

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 33

22 36 54 72 27 144 297 см4.

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J y 297 см4.

3. Определяем значения квадратов главных центральных радиусов инерции.

i2

 

J z

 

3888

36 см2;

 

 

 

 

z

 

 

A

 

108

 

 

 

 

 

 

 

 

i2

 

J y

 

297

 

2,75 см2.

 

 

 

 

 

 

y

 

 

A

 

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Определим положение нейтральной оси.

Отрезки, отсекаемые нейтральной осью при внецентренном сжатии, равны

 

 

 

iy2

 

 

 

 

i2

z

N

 

 

;

y

N

 

z

.

 

 

 

 

zP

 

 

 

yP

 

 

 

 

 

 

 

Координаты приложения нагрузки

 

zP 3,5 см,

yP 6 см.

 

zN

2,75

0,786 см,

yN

36

6 см.

3,5

 

6

 

 

 

 

 

Проводим нейтральную ось (рис. 6.3).

Наиболее удаленными, а следовательно, и наиболее опасными точками являются точки А и В.

5. Определим значения напряжений в опасных точках А и В. Напряжение в любой точке при внецентренном сжатии определяется по

формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

y

P

y

 

 

z

P

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

i2 z

 

 

 

i 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряжение в точке А равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

z

 

 

z

A

 

 

 

y

 

y

A

 

 

 

 

 

P

 

3,5 3,5

 

6 6

 

 

 

A

 

 

 

1

 

 

P

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2,75

36

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

i

y

 

 

 

 

 

 

i

z

 

 

 

 

 

 

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

1 4,4545 1

0,05976P.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

z

P

z

B

 

 

 

y

 

y

B

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

3,5( 2,5)

 

6 ( 12)

 

 

B

 

1

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2,75

 

36

 

 

A

 

 

 

i

y

 

 

 

 

 

 

i

z

 

 

 

 

 

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108P 1 3,1818 2 0,03872P.

y

6 см

н.о. A(3,5;6

6 см

 

 

 

z

 

C

 

 

см

 

=

 

6

 

N

 

 

y

 

6 см

 

 

 

 

 

н.о.

 

В(-2,5;-

2,5c

3,5c

0,05976

 

 

0,3872Р

Рис. 6.3

6. Определим допускаемое значение сжимающей нагрузки а) из условия прочности чугуна на сжатие

 

max

 

 

 

 

A

 

0,05976P [ ]; [

] 80 МПа 8 кН см2.

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

Pдоп

 

[C ]

 

 

 

8

 

 

 

133,87 кН.

 

 

 

 

 

 

 

0,05976

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,05976

 

 

б) из условия прочности чугуна на растяжение

 

max

P

 

B

0,03872P [ ],

[

P

] 21МПа 2,1кН см2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pдоп.

 

[P ]

 

 

2,1

 

 

54,24 кН.

 

 

 

 

 

 

 

0,03872

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,03872

 

Окончательно принимаем значение допускаемой сжимающей нагрузки Pдоп. 54,24 кН исходя из условия прочности чугуна на растяжение.

Задача 7 Тема: Устойчивость стержней (продольный изгиб) (274-280)

Стальной стержень длиной l сжимается силой P (рис. 7.1). Требуется:

1)найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие [ ] 160 МП;

2)найти значение критической силы и коэффициент запаса устойчиво-

сти.

Дано: P 1000 кН, l 2,2 м .

l

P

0,2d

 

μ = 2

d

Рис. 7.1

1. Выразим площадь поперечного сечения через d и d через площадь

(рис. 6.2).

0,2d

0,6d

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.2

 

 

 

 

 

A

d 2

(0,6d )2

0,785d 2 0,2826d 2

0,5024d 2;

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 0,5024d 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5024

 

 

2. Определим минимальный момент инерции поперечного сечения.

J

z

J

y

J

min

d 4

(0,6d )4

0,04906d 4 0,0063585d 4 0,0427d 4.

 

 

 

 

64

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Определим минимальный радиус инерции сечения.

 

 

 

 

 

0,0427d 4

 

 

 

i

Jmin

 

 

0,2915d.

 

 

 

 

 

 

 

 

min

A

0,5024d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Определим гибкость стержня

l

 

 

2 220

 

1509,2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

imin

 

0,2915d

 

d

5. Определим размер поперечного сечения а) задаемся коэффициентом снижения основного допускаемого напря-

жения на сжатие 1 0,5.

Необходимая площадь сечения A

P

 

 

 

1000

125 см2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1[ ]

 

0,5 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1

 

 

A1

 

 

 

 

125

 

 

 

15,77 см.

 

0,5024

 

0,5024

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гибкость стержня с данным размером сечения

 

 

 

1509,2

 

1509,2

95,7.

 

 

 

 

1

 

 

d1

 

 

15,77

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Такому значению гибкости соответствует табличное значение коэффициента снижения основного допускаемого напряжения 1т , определяемое ме-

тодом интерполяции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

100 90

5,7 0,69

0,60 0,69

5,7 0,639.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

90

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5 т

0,637. Расчет продолжим.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

0б5 0,639

 

 

б) задаемся коэффициентом

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

0,569.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000

 

109,84 см2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2[ ]

 

0,569 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

109,84

 

 

14,79 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5024

 

 

0,5024

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1509б2

 

 

1509,2

102,04.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2

 

 

 

 

 

14,79

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

110

100

 

2,04 0,60

0,52 0,60

2,04 0,584.

 

 

 

 

2

 

100

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

. Расчет продолжим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

0,569 0,584

 

в) задаемся коэффициентом

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

0,576;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

P

 

 

 

 

 

1000

 

 

 

 

108,51 см2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3[ ]

 

 

 

0,576 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d3

 

108,51

 

14,7 см;

0,5024

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1509б2

102,67;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14б7

 

 

 

 

т

 

 

 

 

110

100

2,67 0,60

0,52 0,60

2,67 0,579.

 

 

 

 

 

3

100

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

(0,578 0,579) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим стойку на устойчивость.

 

 

 

 

Допускаемое напряжение на устойчивость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ]

y

 

т[ ] 0,579 160 92,64 МПа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рабочие напряжения сжатия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

1000

9,216

кН см2 92,16 МПа [ ]

 

92,64 МПа.

 

 

 

 

y

 

A3

108,51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% перенапряжения

92,64 92,16

100 0,5%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92,64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет на этом можно прекратить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно принимаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Размер d d

3

14,7 см,

A A 108,51см2 ,

102 .67,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

J

min

 

0,0427d 4

0,0427 14,74 1993,87 см4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Определим величину критической силы Pкр.

 

 

Так как

102,67 пред 100, то вычисление Pкр. будем вести по

формуле Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

2EJ

min

 

 

3,142 2 104 1993,87

2030,86 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

 

( l)2

 

 

 

 

 

 

4402

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Определим величину коэффициента запаса устойчивости

n Pкр 2030,86 2,03. P 1000