2.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Главная идея при интегрировании иррациональных функций заключается в том, чтобы различными преобразованиями свести данный интеграл к интегралу от известных рациональных функций.
Если подынтегральное выражение содержит линейную иррациональность типа
,
то целесообразна подстановка:
.
Например.
.
Подкоренное выражение заменяют переменной в такой степени, чтобы корень извлекался. Если имеется несколько корней с разными показателями и одинаковыми подкоренными выражениями, то вводится такая замена, чтобы все корни извлекались (общий знаменатель всех дробных показателей).
Например.
1.
.
2.
.
Замечание.
Если функция содержит выражения
,
то, чтобы свести ее к рациональному
виду, вводят
.
Подынтегральное выражение имеет вид дифференциального бинома
.
При вычислении таких интегралов руководствуются следующим:
а)
если
- целое, то раскладывают бином;
б)
если
- целое, то делают замену
;
в)
если
- целое, то делают замену
.
-
знаменатель дроби
.
Например.
.
Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности
вычисляют путем выделения полного
квадрата в знаменателе и замены
переменной и приходят к табличным
интегралам:
и
.
.
Интеграл от более сложной квадратичной иррациональности
вычисляют путем выделения под корнем
полного квадрата, замены переменной и
получения суммы двух интегралов: один
вида
,
а другой – вида 3.
Например.
.
Если подынтегральная функция имеет вид
,
то следует сделать замену
.
Например,
.
|
|
|
предварительно преобразуем подкоренное выражение:
.
Если задан интеграл вида
,
то после выделения полного квадрата и
замены переменной используют формулу
интегрирования по частям.
Например,
а)
.
Запишем начало и концовку:
.
Приведем подобные элементы:
;
.
Возвратимся к старым переменным и запишем результат интегрирования:
.
б)
.
В результате получаем равенство:
.
.
Замечание.
Интегралы вида
можно вычислять с помощью подстановки
,
однако, методом интегрирования по частям
результат достигается быстрее.
Если встречается интеграл вида
,
то заменой
(или
)
его преобразуют к более простому виду.
.
.
2.6. Интегрирование тригонометрических функций
Случай перехода от произведения функций к сумме:
а)
;
б)
;
в)
.
В результате применения указанных формул получают табличные интегралы.
Примеры.
а)
.
б)
.
2) Случай, когда имеется произведение степени одной функции на другую:
а)
,
проводят замену
;
б)
,
проводят замену
.
Примеры.
а)
.
б)
.
3) Случай четной степени одной функции:
а)
,
используют формулу
,
.
б)
,
используют формулу
,
.
Указанные формулы позволяют понижать степень.
Примеры.
а)
.
б)
.
4) Случай нечетной степени одной функции.
а)
- выделяют один
,
остальную часть выражают через
и проводят замену
.
б)
- выделяют один
,
остальную часть выражают через
и проводят замену
.
Примеры.
а)
.
б)
.
5)
Случай произведения степеней двух
функций:
а)
– четные – понижают степень (как в п.3);
б) хотя бы одно нечетное, тогда решают как в п. 4.
Примеры.
а)
.
б)
.
в)
.