
- •Министерство образования и науки Украины
- •С о д е р ж а н и е
- •В в е д е н и е
- •I. П о н я т и е и н т е г р а л а
- •1.1. Неопределенный интеграл.
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Определенный интеграл. Формула Ньюбона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •II. М е т о д ы и н т е г р и р о в а н и я
- •2.1. Метод непосредственного интегрирования
- •2.2. Метод замены переменной
- •2.3. Интегрирование по частям
- •2.4. Интегрирование рациональных дробей
- •2.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •Примеры.
- •6) Случай универсальной подстановки .
- •2.7. Несобственные интегралы
- •Ііі. Задания для индивидуального решения
- •3.1. Метод непосредственного интегрирования
- •3.2. Метод замены переменной
- •3.3. Метод интегрирования по частям
- •3.4. Интегрирование рациональных дробей
- •3.5. Интегрирование иррациональных функций
- •3.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •Несобственные интегралы
Основные свойства неопределенного интеграла
Свойство 1. |
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению а)
|
Из этого свойства вытекает, что знак дифференциала и знак интеграла взаимоуничтожается.
Свойство 2. |
Неопределенный
интеграл от дифференциала функции
равен сумме этой функции и произвольной
|
Из этого свойства вытекает, что если удается подынтегральное выражение представить как дифференциал какой-то функции, то эта функция и является результатом интегрирования.
Например:
;
;
;
.
Свойство 3. |
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
|
Например:
.
Свойство 4. |
Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен сумме неопределенных интегралов слагаемых:
|
Свойство 5. |
Если
справедливо равенство
|
Это свойство означает, что линейное изменение аргумента позволяет воспользоваться таблицей интегралов и расширить её возможности.
Например, пользуясь свойством 5, получим решение интегралов:
Покажем
на примере, что иногда удается вычислить
интеграл разными способами, при этом
все результаты будут отличаться на
произвольную постоянную
.
І способ решения:
ІІ способ решения:
ІІІ способ решения:
.
Покажем идентичность решений:
а)
.
Первое решение легко преобразовалось в третье.
б)
.
Первое решение совпадает со вторым.
в)
.
Второе решение совпадает с третьим.
Примеры:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Определенный интеграл. Формула Ньюбона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла
Рассмотрим
функцию
,
определенную на
.
Разделим весь отрезок на
частей с длиной
.
На каждой части возьмем точки
,
где
.
Вычислим функцию в этих точках:
.
Составим сумму из произведений длин
отрезков на
:
.
Сумма
|
Определенным
интегралом
называется конечный предел (если он
существует), к которому стремится
интегральная сумма
|
Обозначают:
,
,
–нижний
предел,
–подынтегральная
функция,
–верхний
предел,
–подынтегральное
выражение.
Выводы:
С геометрической точки зрения интегральная сумма
есть площадь ступенчатой фигуры илиприближенное значение площади криволинейной трапеции, а определенный интеграл есть ее площадь.
С механической точки зрения интегральная сумма
естьприближенное значение работы переменной силы, а определенный интеграл есть работа.
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 2. |
Если
функция
|
Это формула Ньютона-Лейбница. Ее можно интерпретировать так
.
Из данного соотношения вытекает связь между определенным и неопределенным интегралами.
Определенный интеграл равен функции, найденной по неопределенному интегралу и вычисленной в заданных пределах. |
Например:
.
Неопределенный интеграл – это функция.
Определенный интеграл – это число (значение функции).