2.8 Дробно-линейное программирование

Если в задаче с линейными ограничениями задана дробно-линейная целевая функция, то такая задача мо­жет быть преобразована к традици­онному виду путем несложных пре­образований. Преобразованная модель может быть разрешена симплексным ме­тодом, а найденное решение трансформировано в решение ис­ходной задачи дробно-линейного программирования. Все этапы алгоритма проиллюстрируем на конкретном примере.

1. Систему ограничений приводят к каноническому виду:

где	основные переменные;
	дополнительные переменные;
	искусственные переменные.

2. Знаменатель целевой функции обозначают через , это приво­дит к следующему:

• появится дополнительное ограничение или;

• функция цели приобретет вид .

2. Все ограничения умножают на и к ним добавляют дополни­тельное соотношение.

2. Вводят обозначения:

; ;;

; ;;.

Упорядочивают систему относительно новых переменных, перено­ся из правой части элементы, связанные с . Кроме того, в допол­нительное ограничение вводят искусственную переменную со сле­дующим номером, в данном случае вводят. Это необходимо для формирования начального базиса. В результате указанных преоб­разований задача приобретает вид:

2. Задача приобрела каноническую форму, ее решение может быть выполнено симплексным методом. Учитывая, что индексы векторов должны соответствовать индексам переменных (,,и т.д.), вектор свободных членов обозна­чают через- это избавит от путаницы.

Таблица 1

Начальное симплекс-решение

Б	С		0	3	2	0	0	0				С.о.
		0	-6	1	6	-1	0	0	1	0	0	0
		0	-14	7	2	0	-1	0	0	1	0	0
	0	0	-5	1	1	0	0	1	0	0	0	0
		1	0	4	5	0	0	0	0	0	1	1/5
-строка		0	0	-3	-2	0	0	0	0	0	0
-строка		1	-20	12	13	-1	-1	0	0	0	0

Данной таблице соответствуют такие значения переменных:

; ;;;;;;;.

Это решение не оптимально.

В таблице 1 получено три одинаковых симплексных отноше­ния, - все они равны нулю. При выборе ключевой строки руковод­ствуются правилом: берут ту, которая соответствует большему элементу ключевого столбца. В данном случае выбирают первую строку, и генеральный элемент равен 6.

Таблица 2

Вторая симплексная таблица

Б	С		0	3	2	0	0	0			С.о.
	2	0	-1	1/6	1	-1/6	0	0	0	0	0
		0	-12	40/6	0	2/6	-1	0	1	0	0
	0	0	-4	5/6	0	1/6	0	1	0	0	0
		1	5	19/6	0	5/6	0	0	0	1	6/19
-строка			-2	-16/6	0	-2/6	0	0	0	0
-строка			-7	59/6	0	7/6	-1	0	0	0

Второе решение выглядит так:

; ;;;;;;;.

Оно не оптимально.

Переход к третьей таблице выполняется по обычным правилам с учетом комментария к выбору ключевой строки, сделанного после таблицы 1.

Таблица 3

Третье симплексное решение

Б	С		0	3	2	0	0	0		С.о.
	2	0	-28/40	0	1	-7/40	1/40	0	0	-
	3	0	-72/40	1	0	2/40	-6/40	0	0	-
	0	0	-100/40	0	0	5/40	5/40	1	0	-
		1	428/40	0	0	27/40	19/40	0	1	40/428
-строка		0	-272/40	0	0	-8/40	-16/40	0	0
-строка		1	428/40	0	0	27/40	19/40	0	0

Третье решение:

.

Условие оптимальности все еще не выполняется, переходят к следующей таблице.

Анализ показывает, что значения большинства переменных будут равны нулю до тех пор, пока ключевой строкой будет оставаться строка с нулевым элементом в . Как только ключевой станет строка с ненулевым эле­ментов в, так базисные переменные обретут конкретные зна­чения.

Таблица 4

Четвертое симплексное решение

Б	С		0	3	2	0	0	0	С.о.
	2	28/428	0	0	1	-56/428	24/428	0	-
	3	72/428	0	1	0	70/428	-30/428	0	72/70
	0	100/428	0	0	0	121/428	101/428	1	100/121
	0	40/428	1	0	0	27/428	19/428	0	40/27
-строка		272/428	0	0	0	98/428	-42/428	0

Решение, соответствующее таблице 4, имеет вид:

, ,,,.

Оно не является оптимальным, строят следующее симплекс-преобразование.

Таблица 5

Пятое симплексное решение

Б	С		0	3	2	0	0	0
	2	21/121	1	0	0	0	20/121	56/121
	3	4/121	0	1	0	0	-25/121	-70/121
	0	100/121	0	0	0	1	101/121	428/121
	0	5/121	0	0	1	0	-1/121	-27/121
-строка		54/121	0	0	0	0	-35/121	-98/121

В таблице 5 получено решение, удовлетворяющее условию опти­мальности:

, ,,,.

2. Определяют значения исходных переменных:

Таким образом, решение задачи дробно-линейного программиро­вания будет следующим:

.

7. Дают, если возможно, геометрическую интерпретацию задачи:

• находят область допустимых значений;

• отмечают точки, соответствующие симплекс-таблицам.

Областью решений является треугольник . Первые ре­альные значения переменныхпоявились в четвертой симплекс­ной таблице, им соответствуют такие значения исходных неизвестных:. На графике – это вершина, она оптимальной не является. Оптимальное решение обеспечивает верши­на.

												7
												6
											5
															А
												4
												3
												2
												1				С						В
		-5		-4		-3		-2		-1		0			1		2		3		4		5		6
												-1

Замечание. Дробно-линейную задачу с двумя переменными можно решать графическим методом, основываясь на таких правилах:

1. По системе заданных ограничений строят область допустимых решений.

2. Выбирают произвольное значение и строят соответствующую прямую– она обязательно пройдет через начало координат.

3. Обозначим

• если , то, поворачивая прямуюпротив часовой стрелки до опорного положения, получим точку минимума (для получения максимума прямую поворачивают по часовой стрелке);

• если , то для получения минимума прямуюповорачивают по часовой стрелке до опорного положения (для максимума – против часовой стрелки).

4. Определив оптимальные точки, находят их координаты – это и будут оптимальные значения переменных, после чего вычисляют величину функции цели.

Пример. Найти решение дробно-линейной задачи.

, рассмотрим 2 варианта функции

а)

б)

1. Строим область допустимых решений – она определяется тремя неравенствами и представляем собой треугольник .

2. Строим прямую

а)

б)

; ;

а) ;;;;

б) ;;;;