Тема 1.6.Применение векторов к решению задач

школьного курса геометрии

Литература: [1], § 10, стр. 32-34.

Основные сведения

Векторная алгебра может быть весьма успешно использована при решении широкого класса содержательных геометрических (аффинных и метрических) задач. Аффинные задачи характеризуются тем, что все участвующие в них объекты и отношения определяются отношением отрезков, площадей, параллельностью. В метрических же задачах – длинами отрезков, величинами углов.

Как правило, векторное решение геометрической задачи позволяет автоматически, или после несложного анализа полученных формул и уравнений, сделать интересные обобщения доказываемых геометрических фактов.

Алгоритм применения векторов при решении геометрических задач состоит из следующих этапов:

1. Выясняем, является ли рассматриваемая задача аффинной или же метрической.

2. Если задача аффинная, то, как правило, выбираем произвольный базис или вводим в рассмотрение наименьшее количество векторов, через которые можно выразить все интересующие нас векторы. Если же задача метрическая, то выбираем ортонормированный базис.

3. Все, что дано в задаче, записываем с помощью векторов.

4. Все, что необходимо найти или доказать, записываем с помощью векторов.

5. С помощью алгебраических преобразований из того, что дано, получаем, что необходимо.

Из приведенного алгоритма видно, что если задачу можно перевести на язык векторов, то она решается с помощью векторов. И для успешного использования векторной алгебры к решению геометрических задач необходимо уметь переводить геометрические факты на язык векторов или на язык координат.

Ниже, в таблице, приведены часто встречающиеся примеры.

На языке геометрических фактов	На языке векторов	На языке координат векторов
Прямые а и b параллельны.	Векторы иколлинеарны или=t(здесьи- направляющие векторы прямых а иb соответственно)	Координаты векторов ипропорциональны, т.е..
Точки А,В и С лежат на одной прямой.		Координаты векторов ипропорциональны, т.е..
Точка С лежит между точками А и В.	, <<	Координаты векторов ипропорциональны, т.е..
Точки А и В симметричны относительно точки 0.	или	Соответствующие координаты векторов иравны.
Угол между прямыми а и в: прямой; острый; тупой;	; ; ;

Задание: Для ускорения усвоения этого метода рекомендуем после решения каждой из рассматриваемых задач продумать, какая информация, чем была заменена в процессе работы, и продолжить заполнение таблицы.

Пример 1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Пусть медианыAD и BE пересекаются в точке О. Докажем, что третья медиана СМ тоже проходит через точку О. Из приведенной выше таблицы видно, что это все равно, что доказать коллинеарность векторов и. Эта задача аффинная.

Пусть =,=. Замечаем, что векторы и можно выразить через векторыи:

.

.

.

Так как , то,.

Аналогично, , поэтому:

, .

Найдем вектор . С одной стороны:

.

С другой стороны:

.

Значит, .

Так как векторы илинейно независимы, то отсюда:

Значит, ,,.

Сравнив векторы и, заключаем:.

Следовательно, третья часть медианы СМ тоже проходит через точку О.

Пример 2. Доказать, что прямые, содержащие высотытреугольника пересекаются в одной точке.

Решение.Пусть высоты АD и ВН пересекаются в точке О. Обозначим , ,.Тогда ,,.

, то есть, . , т.е..

Вычтя из первого подчеркнутого равенства второе, получим , т.е.или. Следовательно,. Значит, и третья высота треугольника проходит так же через точку О.

Задачи

1. С помощью векторов докажите следующие утверждения: а) если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм; б) сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон; в) диагонали ромба взаимно перпендикулярны; г) средняя линия треугольника параллельна основанию и длина ее равна половине длины основания.

2. Доказать, что в треугольнике ABC угол ABC прямой тогда и только тогда, когда AC²=AB²+BC².

3. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин ее непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением длин оснований.

4. В кубе найти величину угла: а) между диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; б) между скрещивающимися диагоналями соседних граней; в) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани.

5. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей и учетверенного квадрата расстояния между серединами этих диагоналей (теорема Эйлера).

6. Доказать, что в правильном тетраэдре противоположные ребра взаимно перпендикулярны.

7. Доказать, что в четырехугольнике ABCD имеет место равенство: , гдеM, N –соответственно середины сторон AD и BC. Пользуясь этим равенством, докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их половине.